2017年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷(文)含解析

2017 年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=R，集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|x 2，则 A （ =（ ） A 1， 2 B 3， 4 C 1 D 1， 2， 3， 4 2已知复数 z 满足（ z 1） i=|i+1|，则 z=（ ） A 2 i B 2 i C D 3设向量 ，则 与 的夹角为（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 4函数 的零点所在的区间是（ ） A B（ 1， 2） C（ 2， e） D（ e， 3） 5已知直线 x+=0 与圆 x2+x 2y+1=0 有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 6下列说法正确的是（ ） A x， y R，若 x+y 0，则 x 1 且 y 1 B a R， “ 1“是 “a 1“的必要不充分条件 C命题 “ x R，使得 x+3 0”的否定是 “ x R，都有 x+3 0” D “若 a b”的逆命题为真命题 7某一算法框图如图所示，则输出的 S 值为（ ） A B C D 0 8算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求 “禾盖 ”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3那么，近似公式 V 当于将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为（ ） A B C D 9已知某椎 体的正视图和侧视图如图，则该锥体的俯视图不可能是（ ） A B C D 10已知函数 的图象在区间 和 上均单调递增，则正数 a 的取值范围是（ ） A B C D 11已知函数 ，若不等式 x） x） +2 0 在 x 0， 4上恒成立，则实数 a 取值范围是（ ） A B C a 3 D 12若存在两个正数 x， y，使得等式 成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13某班级的 54 名学生编号为： 1， 2， 3， ， 54，为了采集同学们的身高信息，先采用系统抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，已知样本中含有编号为 5 号、23 号和 41 号的学生，则样本中剩余三名同学的编号分别为 14若实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=最大值是 15过抛物线 C： p 0）的焦点 F 直线交该抛物线与 A， B 两点，若|8| O 为坐标原点），则 16如图，在 ， D 为线段 的点，且 D， = 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知等差数列 足 ，且 等比数列 （ 1）求 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 18随着 “全面二孩 ”政策推行，我市将迎来生育高峰，今年新春伊始，各医院产科就已经一片忙碌，至今热度不减，卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是 “二孩 ”，在人民医院，共有 50 个宝宝降生，其中 25 个是 “二孩 ”宝宝；博爱医院共 有 30 个宝宝降生，其中 10 个是 “二孩 ”宝宝 （ 1）根据以上数据，完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？ 一孩 二孩 合计 人民医院 博爱医院 合计 （ 2）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取 8 个宝宝做健康咨询，若从这 8 个宝宝抽取两个宝宝进行体检求这两个宝宝恰好都是来自人民医院的概率 附：P（ 9在四棱 锥 P ， ， D，底面 梯形，C=1， （ 1）求证： （ 2）设 M 为 中点，求三棱锥 M 体积 20已知直线 l： x+ 与椭圆 C： （ n m 0）有且只有一个公共点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A， B， O 为坐标原点，动点 Q 满足 B，连接 椭圆于点 P，求 的值 21设函数 ， （ 1）求 f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ 2）证明：对任意 a 0，当 0 |x| 1+a）时， |f（ x） 1| a 选修 4标系与参数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程为 =6极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线 l 的 参数方程为 （ t 为参数） （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）直线 l 与曲线 C 交于 B， D 两点，当 |到最小值时，求 a 的值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|1 2x| |1+x| （ 1）解不等式 f（ x） 4； （ 2）若关于 x 的不等式 a+|1+x| f（ x）有解，求实数 a 的取值范围 2017 年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=R，集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|x 2，则 A （ =（ ） A 1， 2 B 3， 4 C 1 D 1， 2， 3， 4 【考点】 1H：交、并、补集的混合运算 【分析】 根据补集与交集的定义，写出 A （ 可 【解答】 解：全集 U=R，集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|x 2， x|x 2， A （ =3， 4 故选： B 2已知复数 z 满足（ z 1） i=|i+1|，则 z=（ ） A 2 i B 2 i C D 【考点】 数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解：复数 z 满足（ z 1） i=|i+1|，则 i（ z 1） i= i|i+1|，则 z 1= i， z=1 i， 故选： C 3设向量 ，则 与 的夹角为（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角 【分析】 根据平面向量的坐标运算与夹角公式，求出 与 夹角的余弦值，即可求出夹角 【解答】 解：向量 ， =（ 1， 3）， | + |= = ， （ + ） =1 2+3 1=5， 又 | |= = ， 设 与 的夹角为 ， 则 = = ， 夹角 =45 故选： A 4函数 的零点所在的区间是（ ） A B（ 1， 2） C（ 2， e） D（ e， 3） 【考点】 52：函数零点的判定定理 【分析】 先判断函数 y 是定 义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论 【解答】 解： 函数 （ x 0）， y= +1+ 0， 函数 y= x 2 在定义域（ 0， + ）上是单调增函数； 又 x=2 时， y= 2= 0， x=e 时， y= e 2= +e 2 0， 因此函数 的零点在（ 2， e）内 故选： C 5已知直线 x+=0 与圆 x2+x 2y+1=0 有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 利用圆心与直线的距离等于小于圆的半径，然后求解 a 的范围 【解答】 解：圆 x2+x 2y+1=0，即（ x+1） 2+（ y 1） 2=1 的圆心（ 1， 1），半径为 1， 直线 x+=0 与圆 x2+x 2y+1=0 有公共点， 1 a 0， 故选 C 6下列说法正确的是（ ） A x， y R，若 x+y 0，则 x 1 且 y 1 B a R， “ 1“是 “a 1“的必要不充分条件 C命题 “ x R，使得 x+3 0”的否定是 “ x R，都有 x+3 0” D “若 a b”的逆命题为真命题 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 判断原命题逆否命题的真假，可判断 A；根据充要条件的定义，可判断B；写出原命题的否定，可判断 C；写出原命题的逆命题，可判断 D 【解答】 解： x， y R，若 x+y 0，则 x 1 且 y 1 的逆否命题为： x， y R，若 x=1 或 y= 1，则 x+y=0，为假命题，故 A 错误； a R， “ 1”“a 0，或 a 1”是 “a 1”的必要不充分条件，故 B 正确； 命题 “ x R，使得 x+3 0”的否定是 “ x R，都有 x+3 0”，故 C 错误； “若 a b”的逆命题为 “若 a b，则 假命题，故 D 错误；， 故选： B 7某一算法框图如图所示，则输出的 S 值为（ ） A B C D 0 【考点】 序框图 【分析】 通过依次对 n 的值判断算法执行，可以看出在算法执行过程中 S 的值以6 为周期周期出现，再由判断框中的条件看出执行的 n 的最大值是 2016，由此即可得到算法输出的正确结果 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： S=0， n=2 满足条件 n 2017，执行循环体， S= n=4， 满足条件 n 2017，执行循环体， S= n=6， 可得程序框图的功能是计算并输出 S= +值 观察规律可得，算法在执行过程中， S 的值以 6 为周期周期出现， 所以程序共执行了 336 个周期，所以输出的 S 值应是 0 故选： D 8算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求 “禾盖 ”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3那么，近似公式 V 当于将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为（ ） A B C D 【考点】 转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 用 L 表示出圆锥的底面半径，得出圆锥的体积关于 L 和 h 的式子V= ，令 = 出 的近似值 【解答】 解：设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的底面周长 L=2r， r= ， V= = 令 = = 故选 A 9已知某椎体的正视图和侧视图如 图，则该锥体的俯视图不可能是（ ） A B C D 【考点】 单空间图形的三视图 【分析】 依次对各选项的正视图和侧视图判断可得答案 【解答】 解：对于 A：边长为 2 的正四棱锥，可得正视图和侧视图一样， A 正确 对于 B：直径为 2 的圆锥，可得正视图和侧视图一样， B 正确 对于 C：底面为等腰直角三角形，边长为 2 的三棱锥，可得正视图和侧视图一样， C 正确 对于 D：三视图投影得到正视图，侧视图和俯视图等的三棱锥是没有的， D 不正确 故选 D 10已知函数 的图象在区间 和 上均 单调递增，则正数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 弦函数的单调性； 角函数中的恒等变换应用 【分析】 求解出函数 的单调增区间，根据在区间 和上均单调递增建立关系可得答案 【解答】 解：由函数 =22x ）， 令 2x 得： x ， k Z 当 k=0 时，可得增区间为 ， ， 在区间 和 上均单调递增 则 ， 0 a 当 k=1 时，可得增区间为 ， ， 则 2a ， a 综上可得： a 故选 B 11已知函数 ，若 不等式 x） x） +2 0 在 x 0， 4上恒成立，则实数 a 取值范围是（ ） A B C a 3 D 【考点】 3R：函数恒成立问题； 5B：分段函数的应用 【分析】 这是一个复合函数的问题，通过换元 t=f（ x），可知新元的范围，然后分离参数，转互为求函数的最值问题，进而计算可得结论 【解答】 解：由题可知，当 x 0， 1时， f（ x） =x+1 1， 2， 当 x （ 1， 4时， x （ ， ， x） 0， 1， f（ x） = x）+ ， 2， 所以当 x 0， 4时 f（ x） 1， 2，令 t=f（ x），则 t 1， 2， 从而问题转化为不等式 0 在 t 1， 2上恒成立， 即 a =t+ 在 t 1， 2上恒成立， 问题转化为求函数 y=t+ 在 1， 2上的最大值， 又因为 y=t+ 在 1， 2上单调递减， 所以 y=t+ 1+2=3， 所以 a 3， 故选： C 12若存在两个正数 x， y，使得等式 成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 3R：函数恒成立问题 【分析】 等式变形 为 2立，构造函数 f（ t） = ，求出导函数 f（ t）= ，利用导函数求出函数的最值，得出 a 的范围 【解答】 解： 成立， 2立， =2a， 令 t= ， 2a= ， 令 f（ t） = ， f（ t） = ， 当 t 2 时， f（ t） 0， f（ t）递增，当 t 2 时， f（ t） 0， f（ t）递减， f（ t）的最小值为 f（ 2） = ， 2a ， a 故选 A 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13某班级的 54 名学生编号为： 1， 2， 3， ， 54，为了 采集同学们的身高信息，先采用系统抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，已知样本中含有编号为 5 号、23 号和 41 号的学生，则样本中剩余三名同学的编号分别为 14， 32， 50 【考点】 统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的定义，求出样本间距为 9，即可得到结论 【解答】 解：根据系统抽样的定义抽样间距为 9， 则 6 个样本编号从小到大构成以 9 为公差的等差数列， 则样本中剩余三名同学的编号分别为 14， 32， 50， 故答案为： 14， 32， 50 14若实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=最大值是 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数 z= z=由图求出的最大值，则答案可求 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 1， 3）， 由 z= 而 的最大值为 ， z=最大值是 故答案为： 15过抛物线 C： p 0）的焦点 F 直线交该抛物线与 A， B 两点，若|8| O 为坐标原点），则 7 【考点】 物线的简单性质 【分析 】 由题意， |4p，设 |x，由抛物线的定义，可得 ，求出 x，即可得出结论 【解答】 解：由题意， |4p，设 |x，则 由抛物线的定义，可得 ，解得 x= p， =7， 故答案为 7 16如图，在 ， D 为线段 的点，且 D， = 【考点】 弦定理 【分析】 设 AC=x， CD=y，则 x， y； 利用余弦定理求出 关系，再用二倍角化简 ， 利用正弦、余弦定理即可求出结果 【解答】 解：设 AC=x， CD=y，则 x， y； = ， 化简得 = =2 = = + = 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知等差数列 足 ，且 等比数列 （ 1）求 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 8E：数列的求和； 8M：等差数列与等比数列的综合 【分析】 （ 1）设出等差数列的公差，由已知列式求得首项 和公差，则 通项公式可求； （ 2）把 通项公式代入 ，整理后利用裂项相消法求数列 前 n 项和 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d， 由 等比数列，得 ，即 ，解得 an=n+1； （ 2）由（ 1）可知， = = 18随着 “全面二孩 ”政策推行，我市将迎来生育高峰，今年新春伊始，各医院产科就已经一片忙碌，至今热度不减，卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是 “二孩 ”，在人民医院，共有 50 个宝宝降生，其中 25 个是 “二孩 ”宝宝；博爱医院共有 30 个宝宝降生，其中 10 个是 “二孩 ”宝宝 （ 1）根据以上数据，完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？ 一孩 二孩 合计 人民医院 博爱医院 合计 （ 2）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取 8 个宝宝做健康咨询，若从这 8 个宝宝抽取两个宝宝进行体检求这两个宝宝恰好都是来自人民医院的概率 附：P（ 考点】 立性检验 【分析】 （ 1）计算 较大小得出结论 （ 2）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取 8 个宝宝做健康咨询，人民医院 5 人，博爱医院 3 人，确定基本事件的情况，即可求出概率 【解答】 解：（ 1） 一孩 二孩 合计 人民医院 25 25 50 博爱医院 20 10 30 合计 45 35 80 故没有 90%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关 （ 2）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取 8 个宝宝做健康咨询，人民医院 5 人，博爱 医院 3 人，从这 8 个宝宝抽取两个宝宝进行体检，有 =28种，这两个宝宝恰好都是来自人民医院，有 =10 种，所以这两个宝宝恰好都是来自人民医院的概率 P= = 19在四棱锥 P ， ， D，底面 梯形，C=1， （ 1）求证： （ 2）设 M 为 中点，求三棱锥 M 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）取 点 E，由已知可证 矩形，得 D，得 由线面垂直的判定可得 平面 而得到 一步得到 （ 2）由（ 1）知， 平面 由 M 是 中点，然后利用等积法求得三棱锥 M 体积 【解答】 （ 1）证明：取 点 E，则 ， 由 ， 矩形， D， ， 平面 面 又 （ 2）解：由（ 1）知， 平面 M 是 中点， 20已知直线 l： x+ 与椭圆 C： （ n m 0）有且只有一个公共点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A， B， O 为坐标原点，动点 Q 满足 B，连接 椭圆于点 P，求 的值 【考点】 锥曲线与平面向量； 圆的标准方程； 线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）直线方程与椭圆方程联立，利用判别式为 0，椭圆经过当点，联立求出 m， n 即可得到椭圆方程 （ 2）设 Q（ 4， P（ 又 A（ 4， 0）， B（ 4， 0），求出直线 方程为 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及心理的数量积回家求解即可 【解答】 解：（ 1）直线 l： x+ 代入椭圆 C： （ n m 0）可得：（ n+2m） 162m 1=0， 有且只有一个公共点 =1624（ n+2m）（ 32m 1） =0， 并且： 8m+4n=1，解得 m= ， n= 椭圆 C 的方程为 （ 2）设 Q（ 4， ， P（ ，又 A（ 4， 0）， B（ 4， 0）， 直线 方程为 = = = 21设函数 ， （ 1）求 f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ 2）证明：对任意 a 0，当 0 |x| 1+a）时， |f（ x） 1| a 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程； 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，即可求 f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ 2） ，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论 【解答】 解：（ 1） ， f（ 1） =1， f（ 1） =e 1， f（ x）在 x=1 处的切线方程为 y e+1=x 1，即 x y+e 2=0 （ 2）证明： ， 设 （ x） =1 x， （ x） =1， （ x） 0x 0， 故 （ x）在（ ， 0）内递减，在（ 0， + ）内递增， （ x） （ 0） =0 即 1 x 0， 当 0 |x| 1+a）时， |f（ x） 1| a（ 1 x） a|x|， 即当 0 x 1+a）时， 1（ 1+a） x 0，（ ） 当 1+a） x 0 时， 1（ 1 a） x 0，（ ） 令函数 g（ x） =1（ 1+a） x， h（ x） =1（ 1 a） x 注意到 g（ 0） =h（ 0） =0，故要证（ ），（ ）， 只需要证 g（ x）在（ 0， 1+a）内递减， h（ x）在（ 1+a）， 0）递增 当 0 x 1+a）时， g（ x） = 1+a） 1+a）（ 1+a） =0 当 1+a） x 0 时， 综上，对任意 a 0，当 0 |x| 1+a）时， |f（ x） 1| a 选修 4标系与参数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程为 =6极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线 l 的 参数方程为 （ t 为参数） （ 1）求曲