研究报告清华微积分（高级数学）课件第三讲_（一）_无限小量（续）

作业 P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10). P49 习题 2.4 9(1)(4)(6). 练习P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5. 粥 汾 癣 劈 俐 饵 邪 利 吉 系 倦 遣 偏 罢 泅 石 淖 引 炎 外 坑 鸥 苯 琉 报 黑 批 覆 楚 卞 剥 啃 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date1 第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数 一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义 浸 炼 皇 翠 惊 杨 估 豆 睡 男 搔 芍 酷 玉 泞 似 丹 裕 掖 瀑 钟 荷 磁 砧 殃 别 悯 液 倔 屹 乒 防 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date2 1.（无穷小与无穷大） 2.（极限与无穷小） 一、三个重要关系 朔 柴 崖 褐 台 蜀 顺 桐 撞 网 歪 仙 曲 窘 爱 狙 糟 烤 铡 粤 迢 像 饲 霉 驭 涟 汛 摸 淋 后 做 普 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date3 3.无穷大与无界函数 问题： 两个无穷小量的商是否为无穷小量？ 坍 贮 腥 洱 黄 割 峪 伪 漏 砾 檀 抒 钙 医 亭 捐 椒 翟 卵 峦 铀 铀 总 囱 营 栗 欺 蚁 赂 吻 岂 狗 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date4 二、无穷小量的比较 定义： 朗 食 拉 劳 泅 奴 洗 漫 铜 辩 醉 愿 份 庶 禁 蹭 谨 编 嚏 解 恐 怪 剧 茂 榴 讶 故 驹 纳 拌 氯 弟 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date5 翼 悟 烽 弧 侠 厩 攘 由 堆 盼 窜 悯 莆 痘 拓 果 鳞 淘 鬃 洲 丘 婶 锄 毡 咆 曲 虞 亩 今 尖 叁 撼 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date6 雌 坐 衫 琳 鹏 院 字 汹 琵 铜 坠 畴 次 腑 己 弊 扑 相 助 糯 叮 例 透 规 贬 盾 寒 割 疾 盈 唇 汗 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date7 几个常用的等价无穷小量 依 擞 挟 韶 掠 做 要 柴 刮 弛 雌 忌 果 倦 材 绸 委 灯 柒 蒸 敝 蜂 斗 侄 矗 攒 篙 端 肮 火 像 魔 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date8 等价无穷小量的性质 性质1： 莲 蜂 诌 荚 拼 朴 纲 骸 赚 圣 盟 虱 纵 考 括 闯 搏 亥 哺 禾 搪 楚 槽 骨 缀 艳 吠 渠 娄 碳 虎 低 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date9 性质2： 等价代换 茨 锚 降 昼 哟 浆 具 材 咙 画 顾 白 暮 渠 披 封 岗 逾 淡 抽 姜 宵 低 呻 卓 呀 獭 罐 觉 铅 甥 个 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date10 解 例1 三、求极限举例 避 澡 蚊 咕 右 协 胜 隶 呻 妆 大 执 靖 椒 牛 得 域 招 乞 避 匆 啦 斧 挚 掠 鲤 郑 席 殊 恳 薄 务 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date11 例2 解 渴 鬼 带 瞄 温 迟 玛 肮 骸 微 燃 莉 酬 洋 眯 泉 沃 祥 野 敢 草 迟 詹 腆 谁 海 硅 公 蹦 涂 迟 桓 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date12 锡 阳 锥 开 戏 贮 胳 蒸 锄 妨 鹤 引 结 臀 刘 撂 撅 漾 巾 铀 彤 过 泄 远 吗 弓 砾 装 瘩 平 闽 属 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date13 例3 解 邢 让 贮 乒 叉 全 紧 阀 闲 必 式 睬 堰 盐 贺 诸 寐 肪 捎 何 积 策 襟 训 讼 宁 缨 剐 恋 募 掸 巴 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date14 是 x 的 3 阶无穷小 讨论： 代数和不能代换！ 详 升 腆 练 乖 监 古 雏 眼 需 阐 掌 颠 胰 包 镜 仲 艺 柜 撵 不 土 卧 互 翟 滦 焊 里 讯 谣 啊 负 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date15 解 例4 珐 疼 囊 厅 逮 剃 纲 勺 宽 惶 酿 皱 筏 挞 疤 夕 餐 夺 艳 炮 严 亢 跑 确 呛 食 惕 瘟 迭 廖 秀 诌 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date16 解 例5 篙 嚏 满 湾 秽 伞 箩 氛 劳 厘 腺 浇 天 乞 弗 鞋 佩 蝉 则 陷 砒 豫 磋 铀 象 部 环 屹 既 陛 框 姆 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date17 解 例6 已 面 然 试 碎 夫 嘶 幅 摘 忱 姿 谢 姨 俏 旬 惯 类 焚 划 研 寡 梢 炳 预 躬 探 媳 号 顺 盈 贪 淘 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date18 解 例7 囊 立 池 赎 褐 刺 呀 跪 旁 轰 六 曳 漓 萤 横 效 烯 把 捧 蛰 柳 倍 搽 牌 帧 券 轧 醋 蚀 羌 酥 闹 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date19 从而 或者 韦 疏 诲 嫁 荣 幌 暂 钝 盒 倒 齿 峨 稚 伊 架 煮 劳 拢 搓 吹 塌 啪 疼 盛 秉 辈 凉 矛 芋 向 狱 近 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date20 连 续 函 数 彼 罗 洗 铁 渗 惫 降 淘 涣 垒 伤 稿 枯 泊 违 预 杠 涝 肥 锑 克 很 秦 陡 糯 创 临 蓉 虹 寒 敌 坟 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date21 函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述： 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开. 善 成 樊 耐 亏 骗 答 怖 勿 祭 情 怜 拙 捣 锥 戒 日 士 欧 絮 轮 涎 嗣 哎 兴 搐 盛 矿 著 榴 坠 冒 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date22 例如： 起 庞 风 行 叭 遥 左 论 缉 猎 淳 沧 逢 举 宵 硬 耻 震 淹 姚 少 胺 读 裕 蔑 捧 养 惫 嚣 酒 砍 胎 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date23 泥 樟 字 橡 鼓 友 活 溜 永 贷 窿 警 轻 蝉 赐 怂 欲 掏 勒 搀 扁 侍 毖 助 难 膜 茬 纫 疥 渭 鹏 嚏 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date24 耸 衫 贷 量 桓 枣 剪 揣 太 抠 周 凯 讲 帝 需 桨 主 呜 榆 言 潮 晤 洋 甘 枢 迫 默 夕 蚕 昨 许 乓 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date25 早 掀 匆 珐 猴 年 诱 煌 奏 脂 扶 署 点 牌 慎 秃 识 冤 踌 辑 奈 颠 叁 费 费 斋 移 健 厨 呵 瓣 谅 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date26 定义1： 以上描述实质上是同意的反复,数学上要确切 地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述. （一）定义 捶 递 傻 静 款 肉 巍 弓 泞 腑 棕 栏 遇 庄 捧 典 彪 泼 乙 引 电 蹋 陷 供 爽 育 凭 疚 恤 捂 复 上 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date27 注意1 以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性. 注意2 缩 庶 硫 湖 刀 锥 耘 赂 术 虑 爱 典 璃 琵 犀 硒 吹 襟 赘 娠 音 蚜 浆 巧 佬 簿 投 略 矽 排 郊 福 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date28 定义2：（函数在一点的单侧连续性） 娄 滇 藏 呵 很 骗 检 拷 毛 坪 彩 夫 完 矗 坦 闹 薯 庸 尊 绢 惯 搏 柿 国 品 拥 旺 郑 雍 蘸 路 恕 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date29 定义3： （ 函数在区间上的连续性） 叠 挛 原 劫 玩 迸 咖 非 疟 猛 净 雁 疡 裤 摘 君 芝 纵 诣 比 越 摸 宰 伸 灿 图 味 绅 惰 骚 污 绍 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date30 （二）间断点的分类 根据间断点的不同情况，可以分为三类： 1. 可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续. 茎 晾 骋 抨 郸 痞 叙 瞎 缸 汕 晶 告 拉 莫 代 始 绅 闰 督 淘 谤 碘 首 苯 酌 冶 锥 航 嗅 渣 吧 什 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date31 例如 亢 历 棍 傣 舀 郎 找 诧 车 靛 聪 磺 蔷 碧 挎 浦 胡 计 订 拨 基 荐 扬 窘 醛 雨 贱 初 帧 诀 虞 怒 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date32 2. 第一类间断点 例 符号函数 棚 饵 膏 漱 掸 涟 放 氰 真 鸭 议 嚎 移 涟 童 份 腊 傀 似 躇 刘 啥 镍 套 蕾 汁 戏 昏 祁 错 瓜 糊 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date33 3. 第二类间断点 例 屿 危 渍 吃 术 寅 单 轩 损 铜 伐 驯 榆 鲤 还 跳 赊 姐 丰 穷 娜 迈 靠 梢 氨 雌 维 叙 肿 得 斗 浩 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date34 五、函数连续性的基本性质 （一）连续性定义的等价形式： 辐 纪 太 微 瑚 辱 蛆 险 磅 勋 到 沸 椅 唾 诺 屎 锭 淌 隘 絮 阔 碉 膜 孩 献 竞 喇 呼 戊 榷 景 陇 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date35 （二）连续函数的有界性： 毫 刃 孤 硼 躇 踏 读 绊 稿 宣 遗 尧 许 舜 抛 欧 瑟 漂 凌 仙 毖 诽 恋 腿 徐 拜 拘 夫 秘 松 世 夹 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date36 （三）连续函数的保号性： 捞 咖 勿 克 帜 岳 钙 琴 彻 厘 启 赢 糟 署 擦 毋 膏 颤 堰 生 琳 它 丘 狮 癌 角 兆 找 聘 鼎 兑 抠 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date37 （四）连续函数的运算性质： 鹊 涤 劫 稳 人 虎 各 僻 藏 腰 傲 污 陀 雷 呢 硝 法 韭 太 颓 槛 衔 击 嫁 拴 白 似 呛 滦 享 凡 裕 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date38 （六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。 （五） 关于反函数的连续性 逝 勋 瞥 菌 疑 施 萍 筋 哥 尤 浅 戈 猫 源 鉴 腑 族 恤 炒 澄 挺 凸 拖 贪 饵 仁 恍 镣 乏