西北工业大学矩阵论课件ppt第一章例题 矩阵的相似变换

例求下列矩阵的特征值与特征向量： 1) 第一章 矩阵的相似变换 1 基本概念 解 A的特征值为值为 对于求解由于 同解方程组为基础解系为 故对应的所有特征向量为 对于求解由于 同解方程组为 特征向量为 对于求解由于 同解方程组为组为 特征向量为为 2) 解 A的特征值为 求解由于 基础解系为 对应的所有特征向量为 不全为为0) 同解方程组为 3) 解 A的特征值为值为 对于求解由于 同解方程组为 基础解系为 对应的全部特征向量为 对于求解由于 同解方程组为 即对应有3个线性无关的特征向量 全部特征向量为 不全为为0) 例 下列矩阵是否可对角化？若可以，试求出 相似变换矩阵和相应的对角矩阵： 1) 解 A的特征值为 因为A的特征值互异， 所以A可对角化。 又对应的特征向量分别为 可求得 2 相似对角化 故相似变换阵使得 2) 解 所以A的特征值为 对应三重特征值2有两个线性无关的特征向量 故A不可对角化。 可求得 3) 解 对应三重特征值2有三个线性无关的特征向量 故A可对角化。 又对应的特征向量为 故相似变换阵 可求得 所以A的特征值为 使得 例试求 解其中 于是 已知 可求得 例 解 求解一阶线性常系数微分方程组 令 则微分方程组可写成矩阵形式 可求得使得 令其中 注意到 代人前一式得 即 写成分量形式为 解之得 故得 任意) 例 解 所以A的特征值为 又对应有2个线性无关的特征向量 求下列矩阵的Jordan标准形： 1) 可求得 3 Jordan 标准形介绍 故A的Jordan标准形为 (或 2) 解 所以A的特征值为 可求得 故A的Jordan标准形为 (或 又对应只有一个线性无关的特征向量 上述方法的缺点是，当A的某个特征值的重数为 4或大于4时， 其对应的Jordan块可能无法确定。 例 解 求 的Jordan标准形。 注可求得且 此时A对应5重特征值1有3个线性无关的特征向量， 直接按特征向量法无法确定A的Jordan标准形。 设 则 可求得 且 所以A1和A2的Jordan标准形分别为 且 故A的Jordan标准形为 求用所得的商式和余式。除 例 已知多项式 解 可求得 故以 g ()除 f () 所得的商式为 余式为 例 解用初等变换化为Smith 求下列矩阵的Jordan标准形： 1) 第一步：对 标准形： 从而A的不变因子为 第二步： (此处处是和分解成关于 的不同的 一次因式方幂幂的乘积积， 本题题中A的初等因子为 和 再把A的每个次数大于零的不变因子 并分别写出这些方幂 (相同的按出现的次数计数)， 称之为A的初等因子， 第三步：作出 Jordan块 对每个初等因子阶 所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵 J 即是A的Jordan标准形。 本题中A的Jordan标准形为 2) 解 A的不变因子为 A的初等因子为 A的Jordan标标准形为为 例 已知一个12阶矩阵的不变因子是 求A的Jordan标准形。 解 A的初等因子为 故A的Jordan标准形为： 例 解 求下列矩阵的Jordan标准形： 1) 一阶子式共有9个， 显然 二阶子式共有个： 所以 又 故 从而A的不变因子为 A的初等因子为 A的Jordan标标准形为为 2) 解 其中三阶子式 故 从而 又有 所以 A的不变因子为 A的初等因子为 A的Jordan标标准形为为 3) 解 中有一个5阶子式 所以 又 A的不变因子为 A的初等因子为 A的Jordan标准形为 例 解 中3阶子式 求矩阵 的Jordan标准形。 因为整除所有3阶子式，且所以 A的不变因子为 故A的Jordan标标准形为为 例 的Jordan标准形 J 及所用的相似变换阵 P。 解 求矩阵 已求得A的Jordan标准形为 设 即按列分块，则由 即得 即 也即 由上式可见，分别是特征值1和3对应的 可利用已求出的 求解非齐次方程组而 特征向量， 而 作为右端项， 得到，又可 由求解非齐次方程组得到。 可求得特征值1对应的特征向量为 取求解 由于 同解方程组为 令得 再求解由于 同解方程组为 令 得 取为对应为对应 特征值值3的特征向量 故相似变换阵变换阵使得 是特征值1的广义特征向量。注 称 它们不是唯一的。 例 的Jordan标准形和所用的相似变换阵。 解 求矩阵 A的特征值为 求解 由于 同解方程组为组为 基础础解系为为 从而A的Jordan标准形为 若设 使得则有 可见见应应取对应对应 特征值值的两个线线性无关 的特征向量。 (注 为得到求解方程组即 这这是矛盾方程组组。) 若取 处理方法如下： 取定 又令 只要则也是对应 选择其中的系数使 的特征向量， 满足两点: （1）与 （2）使方程组 由于 线性无关； 有解。 可见，方程组有解。则 它与又同解方程组为 时，取 线性无关。 当 令 得 故相似变换阵 使 当一个重特征值对应值对应 2个及2个以上的Jordan注 块时，经常要作这样的处理，应加以注意。 例的n个特征值为 证明 证 取行列式即得。 设 根据Jordan标准形理论， 存在n阶可逆阵P使 (其中*代表0或1) 例 求已知 解其中可求得 故 例 解其中 求解微分方程组 首先化为矩阵形式 可求得其中 令其中代入方程得 即 写成分量形式为 由第1,3个方程解得 这是一阶线性微分方程， 故 任意) 代入第2个方程得 其解为 例求 2) 已知 1) 解1) 用带余除法 4 Hamilton-Cayley定理 设 用可得 由于所以 除 其中 A的特征多项式为 2) 需求出注意满足 又对(*)式求导得 解得 用待定系数法 设(*) (*) 将代入(*)式和上式并利用(*)式得 故 例试将 表为A的二次多项式。 解 A的特征多项式为 令 设3阶方阵A的特征值为1，1，2， 将 依次代入上式得 解得 因此 例 解 A的特征多项式为 的因式有 由性质2， 试求下列矩阵的最小多项式 1） 只需验证第4个因式。可知 故 2） 解 B的特征多项式为 所以的因式为 因为 故B的最小多项式为 例 解 求下列矩阵的最小多项式 1) 2） 解 所以A的特征值为 对应有两个线性无关的特征向量 从而A的Jordan标准形为 故 因为 例 求下列矩阵的最小多项式 1） 解 但 中右上角的阶子式 故从而 2） 解 但在 中1，3行、1，2列的二阶子式 所以 从而 这这一方法的缺点是，可能比较较麻烦烦。 求 例求 和 解 已知 5 酉(正交)相似下的标准形 例 解 所以 已知向量试将其单位化。 因为 例 解 试把向量组 正交化。 则则是正交向量组组。 例 解 所以A不是酉矩阵。 法2 矩阵是否酉矩阵？ 若不是， 试利用其列向量构造一个酉矩阵。 法1因为 设 因为所以A不是酉矩阵。 利用Gram-Schmidt正交化过程构造正交向量组 单位化得 故是一个酉矩阵阵。 例 解即A是实反对称阵，所以A 又因为 所以A的特征值为 可求