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第四节 可测函数的收敛性（续） 第四章 可测函数 各种收敛定义 依测度收敛依测度收敛: : 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 几乎一致收敛几乎一致收敛: : 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 几乎处处收敛几乎处处收敛: : 几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 引理：设mE0， ,有 依测度收敛的等价描述 令mE+，则 对fn 的任意子列 fnk ,存在fnk的子列 fnki ，使得 证明：（必要性）任取 fn的子列 fnk ， 由于 当然有 由Riesz定理知，存在 fnk的子列 fnki ， 使得 依测度收敛的性质（唯一性和四则运算） 注：(1),(2),(4)当mE=+ 时,也成立；条件mE+ 对(3)来说不可少. 定理：令mE+ ， ，则 (1) 若又有 , 则f(x)=h(x) a.e.于E。 设 fn 与 gn 是E上几乎处处有限的可测函数列, 于E， 于E, 则 于E 注:(1),(4)的证明类似，只要利用 证明：由于 故 这与（*）式矛盾，所以 证明：假设 不成立，则 条件mE+对(3)来说不可少 注：令 ，则 gn不依测度收敛于g 注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述依测度收敛的等价描述证明证明 任取任取 fn gn 的子列的子列fnk gnk ，找找 fnk gnk 的子列的子列 fnki g
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