1.3.1知能优化训练

1一个棱柱是正四棱柱的条件是_底面是正方形，有两个侧面是矩形；底面是正方形，且两个侧面垂直于底面；底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直；每个侧面都是全等矩形的四棱柱解析：(1)三条棱两两垂直，其中底面的两条棱垂直，底面为菱形，底面为正方形，设三条棱为a、b、c，b、c共底面，a底面，(2)可以判断以a为侧棱，底面为正方形，a底面得正四棱柱举反例，如图(1)四面为全等矩形，底面为菱形底为正方形，两个平行矩形面(2)举反例，如图(2)侧面为梯形且侧面底面答案：(3)2正四棱柱的一个侧面的面积为S，则它的对角面的面积为_解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则Sah.又底面对角线长为a，所以对角面的面积为ahS.答案：S3各棱长都等于4，且侧棱垂直于底面的三棱柱的表面积为_解析：所给三棱柱的底面是正三角形，侧面是正方形三棱柱底面正三角形的边长为4，所以一个底面的面积为4.三棱柱的侧面是正方形，所以S侧34448.故该三棱柱的表面积等于488.答案：4884半径为R的球的外切圆柱的表面积为_解析：球的直径为圆柱的高，圆柱的表面积S2R2R2R26R2.答案：6R2一、填空题1下列有四个结论：(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥其中，正确结论的个数是_解析：(1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件都具备答案：12已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为_解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为，所以此三棱锥的表面积为4.答案：3正三棱台的两底面边长分别为6和8，侧面积与两底面面积之和的比为2125，则正三棱台的斜高为_解析：设正三棱台的斜高为h，则S侧(cc)h(3638)h，SS1S2628225.，h.答案：4(2010年高考福建卷)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于_解析：通过三视图还原三棱柱直观图如图所示，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形S表3(21)2(22)62.答案：625若圆锥的侧面展开图是圆心角为120，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是_解析：设圆锥的底面半径为r，则有l2r，所以l3r，所以.答案：436已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高夹角为30，则四棱锥的表面积为_解析：如图，正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成直角POE.OE2 cm，OPE30，斜高PE4 cm.S正棱锥侧ch44432 cm2，S正棱锥全423248 cm2.答案：48 cm27(2010年高考安徽卷改编)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为_解析：由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体下面长方体的表面积为81022821022232，上面长方体的表面积为862282262152，又长方体表面积重叠一部分，几何体的表面积为232152262360.答案：3608一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为_ cm2.解析：设正四棱柱高为a，由长方体与球的切接性质知221212a2，则a，正四棱柱的表面积为S2114124(cm2)答案：249一个空间几何体的三视图如图所示，其主视图、左视图均是一个上、下底边长分别是4和8，底角为60的等腰梯形，则这个几何体的表面积是_解析：由三视图可知此几何体为圆台，设上、下底面半径分别为r，r，母线长为l，则r2，r4，l4.所以这个几何体的表面积为2242(24)444.答案：44二、解答题10.如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体， 若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少？(取3.14)解：正方体的表面积为42696 (cm2)，一个圆柱的侧面积为2116.28 (cm2)，则打孔后几何体的表面积为966.286133.68 (cm2)11一个正三棱锥的高和底面边长都为a，求它的侧面积以及侧棱和底面所成的角解：如图，在三棱锥SABC中，过点S作SO平面ABC，垂足为O，过点S作SDAB于点D，连结OD，则SOa，ODAB，且O是三角形ABC的中心又因为ABBCACa，所以ODa，SD a.所以S正三棱锥侧ch3aaa2.因为SO平面ABC，连结BO，则SBO是侧棱与底面所成的角，又OBa，故cosSBO，即侧棱与底面所成的角为60.12已知正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长解：如图所示，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x10) cm.在RtE1FE中，EF5.E1F12 cm，斜高E1E13 cm，S侧4(xx10