高中数学 1.1.2 弧度制学案 新人教a版必修4

1.1.2弧度制【学习要求】1理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换2体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系3掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式【学法指导】1通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制2弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键3引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.11弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 2弧度制：用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制3角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是 .这里，的正负由角的终边的旋转方向决定4角度与弧度的互化：(1)角度转化为弧度：360 rad；180 rad；1 rad0.017 45 rad.(2)弧度转化为角度：2 rad ； rad ；1 rad57.305718.探究点一弧度制问题11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关如图所示，AOB就是1弧度的角问题2如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l，那么的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.的长OB旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数0r顺时针方向r逆时针方向2r顺时针方向逆时针方向r逆时针方向2r顺时针方向规律：如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么_，即_.问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角请叙述一下弧度制的内容答一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.这里，的正负由角的终边的旋转方向决定问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度360 rad2 rad 180 rad rad 1 rad1 rad探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360)的弧度数为2”这一事实化简上述公式(设半径为r，圆心角弧度数为)答半径为r，圆心角为n的扇形弧长公式为l，扇形面积公式为S扇.，l|r.，S扇|r2.，S扇|r2.问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R，弧长为l， (02)为其圆心角，则 度量单位类 别为角度制为弧度制扇形的弧长l_l 扇形的面积S_S_探究点三利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与终边相同的角连同在内可以表示为2k(kZ)，其中的单位必须是弧度问题1利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴y轴坐标轴问题2利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合. 终边所在的象限角的集合【典型例题】例1(1)把11230化成弧度；(2)把化成角度解先将11230化为112.5，然后乘以 rad，即可将11230化成弧度，乘以即可化为角度所以，(1)11230112.5.(2)105.小结将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可跟踪训练1将下列角按要求转化：(1)300_rad； (2)2230_rad； (3)_度例2已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，Slr(402r)r20rr2(r10)2100.当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时rad2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.小结灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题跟踪训练2一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.例3把下列各角化成2k (02，kZ)的形式，并指出是第几象限角：(1)1 500；(2)；(3)4.解(1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10，是第四象限角(2)2，(3)42(24)，24.小结在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用跟踪训练3将1 485化为2k (02，kZ)的形式是_解析1 4855360315，1 485可以表示为10.课后小练1时针经过一小时，时针转过了 ()A rad B rad C rad D rad解析时针经过一小时，转过30，又30 rad，故选B.2若3，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析3 rad3571817154，而17154为第三象限角，3为第三象限角3已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是()A1 B4 C1或4 D2或4解析设扇形半径为r，中心角弧度数为，则由题意得，或.4把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是_解析22(1).课后小结1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个