激光原理与激光技术第二章

第二章 光学谐振腔理论 2.1 谐振腔与模式 2.2共轴球面腔的稳定性条件 2.3开腔模式的衍射理论分析方法 2.4方形镜共焦腔的自再现模 2.5方形镜共焦腔的行波场厄米高斯光束 2.6一般稳定球面腔 2.7非稳腔介绍 基本概念 理论基础 2.1 谐振腔与模式 一、光腔的分类 二、模的概念 腔与模的一般联系 三、衡量谐振腔质量的重要参数 光学谐振腔是激光器的重要组成部分，其总的作用表现在两个方面： （1）提供光学反馈，使激光器成为激光振荡器；（2）限模，使激光束具 有一定的能量空间分布及频谱结构。 在激光技术发展历史上，最早提出的是所谓平行平面腔。在光学上称 为法布里珀罗干涉仪。随着激光技术的发展，人们又广泛采用各种各样 的光学谐振腔。 闭腔 稳定腔（共焦腔、其他） 光学谐振腔 开腔 非稳腔 临界腔（平行平面腔、共心腔） 气体波导管 一、光腔的分类 腔反射镜 固体激光棒 波导管 腔反射镜 (a) (b) (c) 图 2.1.1 (a)闭腔 (b)开腔 (c)气体波导腔 驻波腔 行波腔 （折叠腔） （三镜环形腔）(四镜环形腔） 图2.1.2 光腔的其他分类方法 二、模的概念 腔与模的一般联系 腔的模式就是光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态。 特定的腔 不同的边界条件 不同的电磁场本征态 不同的光腔模式 模特性是光学谐振腔的最重要的特性。一个稳定的光学谐振腔横模对应 于谐振腔内横向稳定可能光场分布，纵模对应于满足共振条件的纵向稳定的 可能光场分布。在激光器的输出光束中，不同横模相当于光强分布不同的光 斑花样；不同纵模相当于频率不同的单色谱线。 在进入严格的模式理论之前，本节利用均匀平面波模型讨论开腔中傍 轴传播模式的谐振条件及纵模频率间隔的普遍表达式。 考虑均匀平面波在FP腔中沿轴线方向往返传播的情形。当波在腔镜 上反射时，如射波与反射波将会发生干涉，多次往返反射就会发生多光束 干涉。为了能在腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。 表示 波在腔内往返一周时的相位滞后，发生相长干涉的条件可以表示为： 将满足上式的波长以 来标记，则有： 也可以用频率 来表示： 腔的谐振频率 （2.1.1） （2.1.2） （2.1.3） (2.1.3)式表明，FP腔中的谐振频率是分立的，不同的 值对应于不同 的纵模。腔的相邻两个纵模间的频率之差 称为纵模间隔。 可以看出， 与 无关，对一定的光腔为一常数，因而腔的纵模在 频率尺度上是等距离排列的 ，如下图示，其形状像一把梳子，常常称为“ 频率梳”。 （2.1.4） 图2.1.3 FP腔的频谱 以上是用干涉理论对平行腔进行一个简单的分析，谐振腔的更全面的 情况将在衍射理论中讨论。 三、衡量谐振腔质量的重要参数 则 如果损耗有多种，每种相对独立的损耗因子为 ，则有： 对于各种损耗，无论其起因如何，我们都可以引进一个“平均单程损耗 因子” 来定量地描述。 的定义为：如果初始光强为 ，在腔内往返一次后 ，光强衰减为 ，总可以写为： （2.1.5） （2.1.6） （2.1.7） 1、损耗 （1）几何横向逸出损耗 A、平行平面腔中斜射光线的损耗 B、腔镜的不完全平行引起的损耗 谐振腔的损耗主要有以下几种： （2）腔镜的不完全反射引起的损耗 （3）衍射损耗 菲涅耳数 2、光子在腔内的平均寿命 设光子在腔内稳往返m次后，所用的时间为t，则： 此时光强衰减为： 设 ，则， （2.1.8） （2.1.9） （2.1.10） 从上式可以看出，经过 时间后，腔内光强衰减为初始值 。 并且 愈大， 愈小，说明腔的损耗愈大，腔内光子数衰减的愈快。 3、谐振腔的Q值 谐振腔的Q值，沿用LC振荡回路的品质因数Q值来表征，其定义为： 腔内存储的总能量 单位时间损耗的能量 由上式看出，腔长越长，损耗越小，谐振腔的Q值越高，则激光 越容易起振。 （2.1.11） （2.1.12） 4、无源腔的本征振荡线宽 在上面的讨论中已知，由于强损耗的存在，腔内光强是按指数规律 衰减的，即 则称为无源腔的振荡线宽，由上式可知，光在腔内的衰减时间越长， 或者说损耗越小，腔长越长，无源腔的线宽越窄。 则中心频率为 的光场，其电矢量表达式为： 这样的衰减振动，由傅立叶频谱分析已知，频谱将具有有限宽度 ，它 与 的关系为： （2.1.13） （2.1.14） 2.2共轴球面腔的稳定性条件 一、腔内光线往返传播的矩阵表示 二、共轴球面腔的稳定性条件 一、腔内光线往返传播的矩阵表示 用几何光学方法分析谐振腔的是研究光线在腔内往返反射的过程。如 图所示的谐振腔，由曲率半径为 R1和 R2的两个球面镜 M1和 M2构成。 腔内任一傍轴光线在给定的横截面内都可以由两个坐标参数来表征： 一个是光线离轴线的距离 ，另一个是光线与轴线的夹角 。 图2.2.1 光线在共轴球面腔中的往返传播 在自由空间传播时，有几何光学直进原理可知： 该方程表示为矩阵形式： 这样，我们用一个列矩阵 描述任一光线的坐标，而用一个二阶方阵 描述当光线在在自由空间中行进距离L时所引起的坐标变换。 （2.2.1） （2.2.2） 将上述方程表示为矩阵形式，有： 称为球面镜的反射矩阵。 R 在球面镜上发生反射时，根据球面镜对傍轴光线的反射规律有： 式中， 、 为入射光线在镜面上的坐标参数； 、 为反射光线在镜面上的 坐标参数； 为球面镜在镜面上的坐标参数。 （2.2.3） （2.2.4） 回到光线在腔内传播的情形（图2.2.1），光线在腔内完成一次往返， 从M1到M2，M2反射，M2到M1，M1反射，其总的坐标变换可写为： 往返矩阵 在上述分析的基础上，可进一部将光线在腔内经n次往返时其参数的变 换关系以矩阵的形式表示为： （2.2.5） （2.2.6） 按照矩阵理论可以求得： 式中 这样则有： 这就是我们用几何光学方法分析傍轴光线在共轴球面腔内往返传播过 程所得到的结果。 （2.2.7） （2.2.8） （2.2.9） 二、共轴球面腔的稳定性条件 我们所关心的问题也可表述为，在什么情况下傍轴光线在共轴球面 腔内任意多次而不致横向逸出腔外。这就要求 n次往返变换矩阵 的各 个元素 、 、 、 对任意 n均保持有限。这就归结为 应为实数（而 且 不应为 ， ） 。 则有： 或者 即为共轴球面腔的稳定性条件 （2.2.10） 腔的稳定性判据： 稳定腔 非稳腔 临界腔 Homework ：试写出下图示腔的传播矩阵及稳定性条件 2.3开腔模式的衍射理论分析方法 一、开腔模的一般物理概念 二、开腔模的衍射理论分析方法 为了简化分析，在这里我们提出一个理想的开腔模型：两块反射镜片 （平面的或曲面的）沉浸在均匀、无限的、各向同性的介质中。 考虑在这样的开腔中往返传播的一列波。设初始时刻在镜1上某一个场 分布U1，则波在腔中第一次渡越而到达镜2时，在镜2上生成一个新的场分 布U2，U2境第二次渡越又在镜1生成U3。如此往返，每经一次渡越，波都 将因衍射而损失一部分能量，而且衍射还将引起能量分布的变化。可以预 期，在经过足够多次渡越后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的 影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布。 我们把开腔镜面上的经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再 现模或横模。 一、开腔模的一般物理概念 二、开腔模的衍射理论分析方法 光学中著名的惠更斯菲涅耳原理是从理论上分析衍射问题的基础， 因而也必然是开腔模式问题的理论基础。该原理的严格数学表述是菲涅耳 基尔霍夫衍射积分，他可以从普遍的电磁场理论推导出来。 镜1镜2 1、应用菲涅耳基尔霍夫衍射积分有： （2.3.1） 2、自再现模积分方程 所以有自再现模积分方程： 由模式“再现”概念有： 积分方程可写为： 为表示振幅衰减和相位移动的常数因子。式中， 且当时， （* 深入理解 的意义） 或者 （2.3.2） （2.3.3） （2.3.4） （2.3.5） （2.3.6） 3、自再现模积分方程的解法 解析求解 *，只有对称共焦腔才能得到 方形镜共焦腔长椭球函数，厄米高斯光束 圆形镜共焦腔超椭球函数，拉盖尔高斯函数 数值求解（数值迭代） 2.4方形镜共焦腔的自再现模 一、分析方形镜模解能否分离变量 二、方形镜自再现模的精确解 三、镜面上场的振幅和位相分布 一、分析方形镜模解能否分离变量 试证明 和 的解可能不只一个。以 和 分别表示他的第m个 和第n个解， 和 表示相应的复常数。 则整个镜面上的自再现模场分布函数为： （2.4.1） （2.4.2） 二、方形镜自再现模的精确解 上图为由线度为2a*2a的方形镜构成的对称共焦腔，当满足条件 时，其自再现模 满足的积分方程为： （2.4.4） （2.4.3） 进行变数代换，取： 并令 ， （2.4.5） （2.4.6） （2.4.7） （2.4.8） （2.4.9） 则式（2.4.1）转化为： 显然，上式就等价于求解下述两个积分本征值问题： （2.4.10） 方程（2.4.8）的精确解已为博伊德和戈登所求得，c为有限值， 其中 与 相应的本征值为： 式中 则本征值写为， （2.4.11） （2.4.12） （2.4.13） 角向长椭 球函数 场分布 本征值 三、镜面上场的振幅和位相分布 1、厄米高斯近似 在 的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球 函数可以表示为厄米多项式和高斯分布函数的乘积。 式中 、 为常系数； 为m阶厄米多项式。 在镜面中心附近，厄米高斯函数能正确描述共焦腔模。在厄米高 斯近似下，场分布写为： （2.4.14） （2.4.15） 2、基模 在m=n=0时，即得出共焦腔基模（TEM00）的场分布函数： 可见，基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心向边缘平 滑的降落。在离中心的距离为 处场的振幅降落为中心处 的 。通常就用半径为 的圆来规定基模光斑的大小，并定 义共焦腔基模在镜面上的光斑半径为： （2.4.16） （2.4.17） 3、高阶横模 方形镜共焦腔膜的振幅分布和强度花样 (a)振幅分布 (b)强度花样 4、单程损耗 共焦腔自再现模 的单程功率损耗由下式给出： 共焦腔中各个模的损耗与腔的具体几何尺寸无关，而单值地由菲涅 尔数确定。所有模式的损耗都随着菲涅尔数的增加而迅速下降。 模 的损耗可近似按下述公式（经验公式）计算： （2.4.18） （2.4.19） 5、谐振频率 共焦腔 模在腔内一次渡越的总相移位： 共焦腔的谐振条件为： 以式（2.4.21）代入上式，得出各阶横模的谐振频率为： 以式（2.4.13）的 代入，即可得到： （2.4.20） （2.4.21） （2.4.22） （2.4.23） Homework ：讨论圆形镜共焦腔的自再现模 求解： 本征函数 本征值 基模 模的分布 单程损耗 谐振频率 圆形镜共焦腔模的强度花样 2.5方形镜共焦腔的行波场 厄米高斯光束 一、振幅分布和光斑尺寸 二、模体积 三、等相位面的分布 四、远场发散角 在上节，我们得到了镜面上的场分布。利用菲涅尔基尔霍夫衍射积 分即可求出共焦腔中任一点的场。进而在本节我们研究谐振腔模沿谐振腔 轴线（Z轴）方向上的变化特性。方形镜共焦腔的 模在腔内或腔外 任意Z处的场分布函数可写为（坐标原点选在腔中心）： （2.5.1） 式中 （2.5.2） 式(2.5.1)、(2.5.2)中各参数的意义如下： ； ； ；L为共焦腔长； 为镜的焦距； 表示 模在腔内任意点 处的电场强度； 为与坐标无关的常量； 为 归一化常数。 一、振幅分布和光斑尺寸 按式（2.5.1），共焦场的振幅分布由下式确定： 上式表明，腔中不同位置处的光斑大小各不相同，如图 2.5.1示。 可见，共焦场基模的振幅在横截面内有高斯分布函数所描述。定义 在振幅的 处的基模光斑尺寸为： （2.5.3） （2.5.4） （2.5.5） 图2.5.1 共焦腔基模高斯光束光斑 在共焦腔镜面上， 在共焦腔中心， 同时，式（2.5.5）亦表明，共焦场中的基模光斑的大小随着坐标z 按双曲线规律变化 此时， 达到极小值，通常将 称为高斯光束的基模腰斑半径。 （2.5.6） （2.5.7） 二、模体积 基模模体积： 模体积描述振荡模式在腔内所扩展的空间体积。模体积越大，对该模 式有贡献的受激粒子就越多，因而可获得较大的输出功率，这是对激活介 质充满腔的情况而言。否则还应当引入有效模体积，即该振荡模式在激活 介质内所扩展的体积。 以下为计算模体积的近似公式， 分别为两镜面上的光斑半径。 模模体积： （2.5.8） （2.5.9） 对共焦腔，易证： （2.5.10） （2.5.11） 三、等相位面的分布 共焦场的相位分布由式（2.5.2）中的相位函数 描述。 随坐标而变化，与腔的轴线相交于 点的等相位面的方程由下式给出： 在腔的轴线附近，共焦场的等相位面可近似为球面，与腔的轴线在 点相交的等相位面的曲率半径为： 图2.5.2 共焦场等相位面的分布 （2.5.12） （2.5.13） 四、远场发散角 共焦腔的基模光束依双曲线规律从腔的中心向外扩展，由此定义 基模远场发散角（全角）为双曲线的两根渐近线之间的夹角： 当共焦腔激光器以单模运转时，发散角具有毫弧度量级，光束具有 优良的方向性；如果产生多模，则由于高阶模的发散角随模的阶次而增 大，因而光束的方向性变差。 （2.5.14） 2.6 一般稳定球面腔 一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 二、一般稳定球面腔的行波场和模特性 一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任何一个稳定球面腔 唯一地等价于一个共焦腔。这里所说的“等价”，是指它们具有相同的行波 场。这种等价性深刻地揭示出各种稳定腔之间的内在联系，它使得我们可 以利用共焦腔模式理论的研究结果来解析地表述一般稳定球面腔的特征。 基于共焦腔模的行波场的传播特性，我们进一步来讨论一般球面镜腔 的模特性。 （1）任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价。 由于任一共焦腔模有无穷多个等相位面，因而我们可以用这种方法构 成无穷多个等价球面腔。现在证明这些球面腔都是稳定腔。 共焦腔面 以图2.6.1所示的等相位面 、 为例，对放置在 、 处的反射镜， 应有： 可以证明， 满足稳定性条件。用类似的方法可以证 明放置在共焦腔等相位面处的反射镜都将构成稳定腔。 图2.6.1 共焦腔与稳定球面腔 （2.6.1） （2）任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔。 图2.6.2 稳定球面腔与它的等价共焦腔 等价共焦腔 图2.6.2中所示的双凹腔应满足式（2.6.1）所示联立的方程。由该联 立方程组可唯一地解出一组数 、 和 ： 在 、 、 求出后，等价共焦腔就唯一地确定下来了。 （2.6.2） 二、一般稳定球面腔的行波场和模特性 1、镜面上的光斑尺寸 共焦腔中基模的光斑尺寸为：（2.6.3） 将式（2.6.2）中所示的 、 或 代入上式，即得出一般稳定球面腔（ 、 、 ）的行波场的基模光斑尺寸的分布： （2.6.4） 2、模体积 与共焦腔模体积（2.5.8）相同的考虑方法，一般稳定球面腔的基模模 体积可以定义为： 高阶模的模体积： （2.6.5） （2.6.6） 3、等相位面的分布 由式（2.5.13）的共焦腔的等相位面分布 ，代入 （2.6.2）中的 f 值，即得出稳定腔中高斯光束的等相位面的曲率半径方 程式。 4、基模远场发散角 将式（2.6.2）中的 f 值代入共焦腔的基模发散角公式（2.5.14）中即 得出一般稳定球面腔的基模远场发散角： （2.6.7） 5、衍射损耗 共焦腔的每一个横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数决定： 定义稳定球面腔的有效菲涅耳数为： （2.6.8） （2.6.9） 对一般稳定球面腔，每一个反射镜对应着一个有效菲涅耳数 ，不 同的菲涅耳数对应不同的损耗。两个反射镜上的损耗分别以 表示，则平均单程损耗为： （2.6.10） 2.7非稳腔介绍 由2.2节的讨论已知，非稳腔是指参数不满足不等式 的腔。 由几何光学观点分析，光在腔内经过有限次往返后就会逸出腔外，即腔 的损耗很大。通常认为比“非稳腔”更为准确的名称是“高损耗腔”。在本节 ，我们分析非稳腔的基本特点。 非稳腔是随着高功率激光器件的发展而发展起来的。高功率激光 器件设计中的主要问题是，如何获得尽可能大的模体积和好的横模鉴别 能力，以实现