柯西准则及其应用

柯西准则及其应用摘要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础它的应用贯穿于数学分析课程学习始终一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性朗读显示对应的拉丁字符的拼音字典 引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，即设函数在内有定义，存在的充要条件是：任给，存在正数()，使得对任何，都有事实上，当，五种情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处1 柯西准则的其它五种形式定理1.1 设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有，存在正数(，存在正数(存在使得当时有从而有于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列的极限存在，记为，即设另一数列且，则如上所证，存在，记为现证，为此，考虑数列易见且，故仍如上面所证，也收敛于是，作为的两个子列，与必有相同的极限，所以由归结原则推得证毕定理1.2 设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有，设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有证 先证必要性设，按照定义，于是再证充分性设，设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有，设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明2 归纳柯西准则在数学分析中的应用2.1柯西准则在实数完备性理论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理2.1.1用数列的柯西收敛准则证明确界原理证 设为非空有上界数集由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即存在，使得分别取则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在，使得 （1）又对正整数，是的上界，故有结合（1）式得；同理有从而得 于是，对任给的，存在，使得当时有由柯西收敛准则，数列收敛记 （2）现在证明就是的上确界首先，对任何和正整数有，由(2)式得，即是的一个上界其次，对任何，由及(2)式，对充分大的同时有又因不是的上界，故存在，使得结合上式得这说明为的上确界 同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界2.1.2 用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理证 在闭域套的每一个闭域内任取一点，构成一个各点各不相同的平面点列，则对一切自然数，由于，以，因此由定义任给，存在正整数，使得当时，对一切自然数，都有，根据柯西准则收敛，记现证为此任意取定则因为对一切自然数都有，由定义知是的聚点，而闭域必为闭集，所以它的聚点最后证明的唯一性，若还有则由于，所以2.2 柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出2.2.1 柯西准则在数列收敛性判定中的应用数列收敛有数列发散使得例1 应用柯西收敛准则，证明数列收敛证 对取，则对，有 而由知，故由柯西收敛准则知数列收敛2.2.2 柯西准则在函数极限存在性判定中的应用不存在的充要条件是：，对，都存在，使得例2 证明极限不存在证 可取，对任何，设正整数，令则有，而于是按照柯西准则，极限不存在2.2.3 柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用因为无穷积分的敛散性是由变上限函数存在与否确定的因此，可由函数极限存在的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则：无穷积分收敛有同理，由函数极限存在的柯西准则可直接推出瑕积分（a为瑕点）收敛的柯西准则：瑕积分（a为瑕点）收敛有例3 设在上连续可微，并且如果(当时)，其中为一常数试证：证 （反证）假设，则使对，总有因为在上连续可微，故在上一致连续，于是，使当时，又因收敛，故时，当时，对该，存在，故，当时 矛盾2.2.4 柯西准则在级数收敛性判定中的应用因为级数的敛散性是由其前项和数列的敛散性确定的所以，由收敛的柯西准则直接可得级数收敛的柯西准则：收敛有例4 级数收敛的充要条件是：对任意的正整数序列都有证 必要性 因为收敛，所以对当及有特别地所以充分性 用反证法若发散，则及自然数，使特别及自然数使，及自然数，使 这与矛盾所以级数是收敛的例5应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛证 由于因此，对任给，取，使当及对任意正整数，由上式就有依级数收敛的柯西准则推得级数是收敛的2.2.5 柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用由数列收敛的柯西准则易推得函数列一致收敛的柯西准则：函数列在上一致收敛有又因为函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数列的一致收敛性确定的所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯西准则：在上一致收敛 当时，有 进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法例6 证明：若对，有且收敛，则函数列在区间上一致收敛证 ， 因为收敛，故有有所以函数列在区间上一致收敛例7 设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛证 因为与绝对收敛对当时，对有又因为是上的单调函数，所以对有 或 由一致收敛的柯西准则可推出函数项级数在上绝对且一致收敛柯西准则的优越性柯西准则的优越性是显然的，在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念都有内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大的优点是不需借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的具体特点来解决相应的问题，使得看似复杂的问题变的简单易懂它具有整齐完美的形式，充分体现了数学美，使得许多抽象的数学理论形象可见在数学分析中有非常重要的理论价值，所以深刻理解柯西准则很重要参考文献1 责任编辑高尚华，华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，2001年，第三版2 崔万臣，谈柯西准则在数学分析中的作用，唐山师专学报，1993年，第21卷，第2期3 王安斌、宾红华，用柯西准则证明几个相关命题，数学理论与应用，2004年，第24卷，第4期4 陈祥平，对柯西准则教学的体会，济宁师专学报，1998年，第19卷，第6期5 薛怀玉，上完备性定理的等价，咸阳师范专科学校学报（自然学版），1998年，第13卷，第6期6 钱吉林，数学分析题解精粹，湘北长江出版集团，2009年，第二版7 刘玉链、傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，2003年，第三版8 陈纪修、於崇华、金路，数学分析，高等教育出版社，2004年，第二版Cauchy criterion and its applicationAbstract: The Cauchy criterion is one of the six theorems which is about the completeness of real numbers. it is the foundation of the limit. Throughout the course of mathematical analysis, its application has always been. In general, During the curriculum materials of the mathematical analysis, when it discusses the Cauchy criterion, only a situation thatis discussed. This article will supply proofs of the other five cases of the Cauchy criterion of the limits of function. At the same time, it will discuss and sum the flexibility application of Cauchy criterion in the limits, the series , Points and so on. Keywords: Cauchy criterion; applications; limit exists; superiority论文撰写方法一、论文的选题选题是论文撰写成败的关键。因为，选题是论文撰写的第一步，它实际上就是确定“写什么”的问题，亦即确定科学研究的方向。如果“写什么”不明确，“怎么写”就无从谈起。 选题首先要符合专业培养目标，要与所学专业相关；其次，选题要有理论和现实意义，使其论文形成后既有理论支撑，同时要对现实有所促进；再次选题要注意一些有价值的课题，比如本专业的研究空白、有争议的话题，或者从一个新的角度来研究本专业的老话题、与研究领域有关的当前热点问题、新问题、亲自参与实践调查的课题；第四，选题要结合考虑资料的利用。能找到比较充分的资料来源对于作者写作论文有重要帮助；最后，选题宜小不宜大。题目范围太大易导致内容空泛，难于驾驭。（一）论文的选题的依据：1、依据个人兴趣爱好；2、依据个人知识结构；3、依据当前本专业的研究热点；4、依据当前国际国内经济政治局势；5、依据管理学权威刊物的近期发表论文；6、请教他人。（二）毕业论文的选题原则和要求： 1、注重选题的实用价值，选择具有现实意义的题目。（1）理论联系实际，注重现实意义；（2）要注重选题的理论价值。 2、勤于思考，刻意求新。（1）从观点、题目到材料直至论证方法全是新的；（2）以新的材料论证旧的课题，从而提出新的或部分新的观点、新的看法；（3）以新的角度或新的研究方法重做已有的课题，从而得出全部或部分新观点；（4）对已有的观点、材料、研究方法提出质疑，虽然没有提出自己新的看法，但能够启发人们重新思考问题。以上四个方面并不是对“新意”的全部概括，但只要能做到其中一点，就可以认为文章的选题有了新意。二、论文写作框架的确定论文写作框架起疏通思路、安排材料、形成结构的作用。一般来讲，学术论文框架需要采用递进的逻辑体系，不建议采用并列的逻辑体系，即论文的各个部分应该是层层递进，有一定的逻辑关系的。如：第一部分是相关概念和涵义，第二部分是问题提出，第三部分是分析问题，第四部分是解决问题的办法，第五部分是解决问题需要实现的一些条件和保障措施，第六部分是总结。可以根据具体情况进行删减和添加。论文框架确定后，应交给导师审阅，再与导师仔细探讨行文的思路，听取导师的指导意见，最后确认论文写作内容框架，作为开题报告中的内容部分。三、文献综述（一）文献综述的介绍文献综述是在确定了选题后，在对选题所涉及的研究领域的文献进行广泛阅读和理解的基础上，对该研究领域的研究现状（包括主要学术观点、前人研究成果和研究水平、争论焦点、存在的问题及可能的原因等）、新水平、新动态、新技术和新发现、发展前景等内容进行综合分析、归纳整理和评论，并提出自己的见解和研究思路而写成的一种不同于毕业论文的文体。它要求作者既要对所查阅资料的主要观点进行综合整理、陈述，还要根据自己的理解和认识，对综合整理后的文献进行比较专门的、全面的、深入的、系统的论述和相应的评价，而不仅仅是相关领域学术研究的“堆砌”。（二）文献来源论文查阅的资料来源有：1、电子期刊。包括电子期刊网上的期刊论文、硕士博士的学位论文以及一些电子书籍。2、纸质书籍。如图书、期刊杂志、报纸等。（三）文献综述的写作文献综述基本由前言(引言)、正文、结论和参考文献四大部分组成。1、前言(引言)：简要介绍所综述的课题，研究目的及意义。说明有关概念，规定综述范围，介绍本课题的基本内容：包括研究的历史、现状、前景和争论焦点等，使读者对全文有一个概括的了解。2、正文：是综述的主体部分，对某专业、学科在某阶段的发展历史和当前实际工作水平、成就和展望，以及有关各种情况都应作详细叙述，还要把同行对该方面的不同看法也写进去，进行分析研究。此部分要特别注意两个问题，一是查阅文献的内容要围绕我们选题需要研究的主题内容，以为我们后续研究提供理论支持和依据，严禁文献综述的内容和查阅的资料和论文写作不相关；二是对文献查阅后，不能简单罗列，文献综述的重点在“综述述”，应该通过自己的归纳、总结和整理，进行综合的评述，不能只“述”不评，即只对观点、数据、事实等作纯客观的分析和介绍，不作评价、评议。3、结论：结论是综述的结束语。一般包括研究的结论，本课题研究的意义，存在的分歧，有待解决的问题和发展趋势等。4、参考文献：注明作者所引用的资料，为人们核对或作进一步研究用，这些按引用顺序列出。前沿和结论部分和我的观点有许多不符合的地方，所以没做修改。四、开题报告（一）研究的目的和意义研究目的是简单叙述论文选题的背景，然后提出论文是为了研究什么，为了得到什么结果。研究的意义一般从两个方面来描述：一是论文研究对于当前相关研究的理论有什么贡献（理论意义、学术意义），二是论文研究对于当前社会经济发展有什么贡献（实践意义、指导意义）。（二）研究的内容及目标研究内容部分即前述的论文框架体系，研究目标重点介绍研究什么，拟解决什么关键问题。（三）研究方案及可行性分析此部分视具体写作情况和学校提供的资源情况而定。（四）研究进度计划时间和内容按照系里的统一规定填写。五、论文的撰写（一）论文构成1.论文题目2. 论文目录3.中英文摘要、关键词4.论文正文5.致谢6.参考文献（二）论文目录一般先要确定论文目录，即论文题目、大标题和小标题，这使得论文的起草有了初步依据。然后拟定内容提纲，把论文目录展开，加进必要材料予以扩充，使目录充实和具体化。编写提纲应该由简入繁，由部分到章节再到内容要点，逐步进行扩展。首先根据行文的思路用最粗的轮廓勾勒出文章的几大块，也就是主要组成部分，然后在各部分内填入相应的章节。具体来说写论文无非是提出问题、分析问题、解决问题（或者是理论、实证、结论），可以在先确定逻辑主线的基础上规划出三个部分，再用相应章节进行对应的填充，最后列出每一节的内容要点。需要注意的一是要论点明确、论据充分；二是要平衡章节之间的长短，即合理安排各部分的篇幅，尽量长短相当，避免体例结构的不相称。对于引入的理论部分要把字数控制在整个篇幅的四分之一左右。（三）中英文摘要、关键词1按照学校规定的格式撰写2.英文忌用软件翻译，因为语法错误多，专业词汇翻译不够专业3. 关键词一般三个以上（四）论文正文论文的正文通常包括绪论、本论、结论三部分。1、绪论，又称前言、绪言，是正文的起始部分。这一部分一般可涉及以下内容：研究这一课题的目的、意义；提出问题，表明作者观点；说明作者论证这一课题的方法；概括介绍论述的内容或揭示问题的结论；历史回顾。绪论部分在论文中所占比例通常较小。要写得简明扼要，通常几百字即可。2、本论是论文的主体部分。在这部分中要综合运用所学的基本原理、基本理论以及前面说收集的相关资料来详细地阐述论文的研究观点、成果。可根据论题性质，用正面立论的或批驳不同看法或解决别人的疑难问题的方法，来论证文中的思想和新的见解。如果是作者自己提出新的、创造性的东西要注意最重要的是言之存理。这一部分要占全文的三分之二。3、结论是论文的最后部分，这部分的主要内容包括作者对研究的课题得出的答案；作者对研究的课题提出探讨性意见；对未解决的问题提出的某种设想等。它的内容与绪论有关，是一篇论文要旨的简明扼要的提示。通常这部分可以是围绕本论所作的结语，对本论部分进行强调（但注意不是本论部分的重复）。如果结论已在绪论或本论部分作了提示，这部分也可以只做文章的收尾。论文的撰写一方面取决于资料的拥有，另一方面依靠平时理论素养和写作能力的积累。撰写正文前，要对提纲进行再次检查和修改，使之更加完善。文章起草要在思路明晰的基础上一气呵成，切忌断断续续。起草阶段，要先形成初稿。初稿的写作就是按照提纲形成是构思填充内容。形成的论文应该是论点明确，内容充实；叙述上主次分明、详略得当；论文各部分条理清晰、层次分明；段落之间的衔接自然、舒展，逻辑性要强。撰写论文的过程中，忌大篇幅引用，切忌抄袭他人论文，国内一般认为不超过200字就不算抄袭。然而，在考研与就业压力的夹缝中，大学毕业论文的生存处境日渐尴尬，弄虚作假现象泛滥，论文写作陷入抄袭的怪圈，毕业论文写作只是“网上摘些，书上的借用些，最后整合一下就算大功告成”“写论文惟一的收获就是学会了复制、粘贴的快捷键”。那么我们该如何规避抄袭的风险？首先，每个内容小点一定要自己拟定。紧接着，根据所收集到的资料对小点内容进行扩充充实，尽量使用自己的语言来陈述。（五）致谢可以在正文后对下列方面致谢:国家科学基金、资助研究工作的奖学金基金、合同单位、资助或支持的企业、组织或个人;协助完成研究工作和提供便利条件的组织或个人，在研究工作中提出建议和提供帮助的人;给予转载和引用权的资料、图片、文献、研究思想和设想的所有者其他应感谢的组织或个人。内容应简洁明了、实事求是，避免俗套（六）参考文献参考文献包括著作、论文等正式文献，也包括统计、工作报告等事实材料，还可以包括没有正式出版和发表的资料。外文原文著作和论文，其参考文献的标题应当用原文列出。注释和参考书目的标题主体和标识顺序，按“作（著）者/题（书）名/出版事项”顺序排列。具体顺序为：作者姓名、文献名称、版次（第一版不标注）、页码、出版地