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第三节 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 1 一、指数函数 1.指数函数的定义: 2 指数函数的定义等价于关系式: 3 2. 加法定理 证 4 例1 解 5 6 例2 解 求出下列复数的辐角主值: 7 8 9 例3 解 10 二、对数函数 1. 定义 11 12 其余各值为 特殊地, 13 例4 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 14 例5 解 15 例6 解 16 17 2. 性质 18 证 (3) 证毕 19 三、乘幂 与幂函数 1. 乘幂的定义 注意: 20 21 特殊情况: 22 23 例7 解 答案 课堂练习 24 例8 解 25 2. 幂函数的解析性 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 26 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 27 四、三角函数和双曲函数 1. 三角函数的定义 将两式相加与相减, 得 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变 数取复值的情况. 28 29 例9 解 30 有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. 31 (注意：这是与实变函数完全不同的) 32 其他复变数三角函数的定义 33 例10 解 34 例11 解 35 例12 解方程 解 36 2. 双曲函数的定义 37 它们的导数分别为 并有如下公式: 它们都是以 为周期的周期函数, 38 例13 解 39 五、反三角函数和反双曲函数 1. 反三角函数的定义 两端取对数得 40 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: 2. 反双曲函数的定义 41 例14 解 42 六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 4. 双曲正弦与余弦都是周期函数 43 思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有 哪些异同? 44 思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是 类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数 的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区
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