全程复习方略（广西）2015版高中数学_小专题复习课 热点总结与强化训练（六）配套课件 理 新人教a版

热点总结与强化训练(六) 热点1 离散型随机变量的分布列、均值与方差 1.本热点在高考中的地位 离散型随机变量的分布列、均值与方差是每年高考的必考内容， 且以解答题的形式出现，属中档题. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 考查重点是互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、分 布列、数学期望以及学生运用数学知识解决实际问题的能力. 1.随机变量的分布列 (1)随机变量分布列的性质pi0,i=1,2,n； p1+p2+pn=1. (2)离散型随机变量及其分布 期望：E(X)x1p1+x2p2+xnpn； 方差：D(X)(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn- E(X)2pn. (3)两点分布 期望：E(X)p；方差：D(X)p(1-p). (4)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰 有X件次品，则P(X=k)= ,k=0,1,，m,m=minM,n，其 中nN,MN,M，NN*. 称这种形式的概率分布为超几何分布，称X服从超几何分 布. (5)二项分布(独立重复试验) 若XB(n,p),则E(X)np, D(X)np(1-p).注：P(X=k)= ,k=0,1,2,n. 2.期望与方差的常用性质 期望 E(a+b)=aE()+b E(+)=E()+E() 方差 D(a+b)=a2D() 3.求离散型随机变量期望、方差的常用方法 解答本部分问题，要能够准确、熟练地记住相关公式，熟 悉排列与组合的有关知识，相互独立事件同时发生的概率以及 二项分布的有关计算，注意强化分类讨论思想、数形结合思想 、等价转化思想的应用意识. (2011辽宁高考)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作 物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取 两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机 选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙. (1)假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记 为X，求X的分布列和数学期望； (2)试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种 甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下 表： 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差； 根据试验结果，你认为应该种植哪一种品种？ 附：样本数据x1,x2,xn的样本方差s2= ,其中 为样本平均数. 品种甲 403 397390404388400412406 品种乙 419403412418408423400413 【解题指南】(1)根据求分布列的方法步骤列出表格，再求数学 期望； (2)根据平均数、方差公式求解后再做比较. 【规范解答】(1)X可能的取值为0,1,2,3,4,且 即X的分布列为 X的数学期望为 X01234 P (2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本 平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种 乙. 1.某次考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有 一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的， 选对得5分，不选或选错得0分.”某考生每道题都给出一个答 案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道 题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项 是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生： (1)得40分的概率； (2)所得分数的数学期望. 【解析】(1)某考生要得40分，必须8道题全部做对，答案不确 定的3道题中，有一道做对的概率为 ，有一道做对的概率为 ，有一道做对的概率为 ，所以得40分的概率为 (2)依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40. 得25分是指总共做对5题，答案不确定的3题都做错了，所以概 率为 得30分是指总共做对6题，答案不确定的3题只做对1题，所以 概率为 得35分是指总共做对7题，答案不确定的3题做对2题，所以概 率为 得40分的概率为 得分的分布列为： 所以E()= 25303540 P 2.(2011湖南高考)某商店试销某种商品20天，获得如下数 据： 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天 开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现 存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视 为概率. 日销销售量(件)0123 频频数1595 (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数 学期望. 【解析】(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0 件”)+P(“当天商品销售量1件”)= (2)由题意知，X的可能取值为2，3. P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)= ； P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为 2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)= 故X的分布列为 X的数学期望为E(X)=2 X23 P 3.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可 正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面 试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率 为 ,乙、丙面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互不影响. 求: (1)至少有1人面试合格的概率; (2)签约人数的分布列和数学期望. 【解析】用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C相互独立,且P(A)= ,P(B)=P(C)= . (1)至少有1人面试合格的概率是 = (2)的可能取值为0,1,2,3, 的分布列是 的数学期望E()= 0123 P 热点2 导数的应用 1.本热点在高考中的地位 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而 函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数 的应用的考查都非常突出. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 ： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性， 求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 1.导数的几何意义 对可导函数y=f(x)来说，f(x0)表示(f(x)的图象)在x=x0 处的切线的斜率. 2.利用导数判断函数的单调性 在区间(a,b)上f(x)0f(x)在(a,b)上是单调增函数. f(x)0f(x)在(a,b)上是单调减函数. 3.可导函数f(x)满足：当xx0时，f(x)0，当xx0时 ，f(x)0，则x0是函数f(x)的极大值点，f(x0)是f(x)的一 个极大值. 4.若f(x)在a,b上连续，则可以通过比较f(a)、f(b) 及f(x)的各个极值的大小，确定f(x)在a,b上的最大(最小 )值. 平时的备考中要从运算、化简入手，首先解决诸如导数的 运算、切线的求法，单调区间、极值及最值的求法等.在此基 础上，再结合其他相关知识解决函数的综合问题，对于生活中 的优化问题，应从提高建模能力入手，顺利建模是解题的关键 ，本热点知识难度较大，备考中应注意循序渐进，切不可急于 求成. (2011江西高考)设f(x)= (1)如果g(x)=f(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f(x) 的解析式； (2)如果m+n10(m,nN*),f(x)的单调递减区间的长度是 正整数，试求m和n的值.(注：区间(a,b)的长度为b-a) 【解题指南】(1)先将函数g(x)配方，结合二次函数的图象特 点，可得参数m,n.(2)先根据f(x)存在单调递减区间，得出 f(x)=0有两个不等的实根a,b，进而根据0得到m2n， 又因为单调递减区间的长度为|b-a|=2 ，结合m+n10， 经过讨论可得m、n的值. 【规范解答】(1)已知f(x)= f(x)=x2+2mx+n. 又g(x)=f(x)-2x-3=x2+(2m-2)x+n-3在x=-2处取得最小值， 则 又g(x)在x=-2处取最小值-5， 则g(-2)=(-2)2+(-2)4+n-3=-5 n=2 f(x)= (2)要使f(x)= 在某区间上单调递减，则 f(x)=x2+2mx+n0,又因为递减区间长度是正整数，所以 f(x)=x2+2mx+n=0,有两根分别设作a,b(ba). 即有：b-a为区间长度. 又b-a= 又因为b-a为正整数，且m+n10,所以m=2,n=3或m=3,n=5符合. 1.(2011新课标全国卷)已知函数f(x)= ，曲线y=f(x) 在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0. (1)求a、b的值； (2)如果当x0，且x1时，f(x) ，求k的取值范围. 【解析】(1)f(x)= 由于直线x+2y-3=0的斜率为 ，且过点(1,1)，故 解得a=1，b=1. (2)由(1)知f(x)= ，所以 考虑函数h(x)= 则h(x)= ()若k0，由h(x)= 知， 当x1时，h(x)0，h(x)单调递减.而h(1)=0， 故当x(0,1)时，h(x)0，可得 ； 当x(1，+)时，h(x)0，可得 从而当x0,且x1时， 即f(x) . ()若0k1.由于(k-1)(x2+1)+2x=(k-1)x2+2x+k-1的图象开 口向下，且=4-4(k-1)20，对称轴x= .当x(1， ) 时，(k-1)(x2+1)+2x0, 故h(x)0,而h(1)=0，故当x(1， )时，h(x)0， 可得 ,与题设矛盾. ()若k1.此时x2+12x，(k-1)(x2+1)+2x0 h(x)0, 而h(1)=0，故当x(1，+)时，h(x)0，可得 , 与题设矛盾. 综合得，k的取值范围为(-，0. 2.(2012桂林模拟)已知函数f(x)= ax2+bx+1(xR, a，b为实数)有极值，且在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行. (1)求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得f(x)=x的两根x1,x2满足0x1x2 1.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)f(x)=x2+ax+b,由题意得f(-1)=1-a+b=1, a=b,令f(x)=0,即x2+ax+a=0, 当=a2-4a0时,f(x)0恒成立，y=f(x)没有极值； 当=a2-4a0时，即a0或a4时，f(x)=0有两个不相等的 实数根，y=f(x)有极值. 综上可知,a的取值范围是(-,0)(4,+). (2)假设存在实数a，使f(x)=x的两根满足0x1x21, 即x2+(a-1)x+a=0的两根满足0x1x21, 令g(x)=x2+(a-1)x+a,则 解得： 与(1)中a0或a4矛盾，因此，符合条件的实数a不存在. 3.(2011安徽高考)设f(x)= ，其中a为正实数. (1)当a= 时，求f(x)的极值点； (2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. 【解析】对f(x)求导得，f(x)= (1)当a= 时，令f(x)=0，则4x2-8x+3=0,解得 列表得 所以， 是极小值点， 是极大值点. x f(x)+0-0+ f(x)极大值极小值 (2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合 f(x)= 与条件a0，知ax2-2ax+10在R上恒成 立，因此=4a2-4a=4a(a-1)0,由此并结合a0，知0a1. 4.(2011福建高考)已知a，b为常数，且a0，函数f(x)= -ax+b+axlnx，f(e)=2(e=2.718 28是自然对数的底数). (1)求实数b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a=1时，是否同时存在实数m和M(mM)，使得对每一个 tm，M，直线y=t与曲线y=f(x)(x )都有公共点？若 存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由. 【解析】(1)由f(e)=2,得b=2. (2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx, 从而f(x)=alnx,因为a0,故： 当a0时，由f(x)0得x1； 由f(x)0得0x1； 当a0时，由f(x)0得0x1； 由f(x)0得x1. 综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递 减区间为(1,+). 当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，+)，单调递减区 间为(0,1). (3)当a=