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文档简介
在学生就要走出校门的时候,班级工作仍要坚持德育先行,继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育,认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 2.2.2 向量的减法互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.向量减法的定义(1)向量的减法实际上是加法的逆运算,已知向量a、b,(如右图)作=a,=b,则b+=a,向量叫做向量a与b的差,记作a-b,即=a-b=-.疑难疏引 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.一个向量等于它的终点,相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量,或简记为“终点向量减起点向量”,这里的点O是任意的一点.(2)相反向量的定义与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量,记作-a.关于相反向量的结论有:0的相反向量仍为0;a+(-a)=(-a)+a=0;-(-a)=a;一个向量与它的相反向量是共线向量;|a|=|-a|.(3)利用相反向量定义向量的减法在向量减法的定义中,b+=a.在上式中两边同时加上(-b),则=a+(-b).即说明一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.a+(-b)通常省略加号.就是a-b.其实向量的差也就是向量的和.2.两个向量差的几何作法(1)两个向量的差也可由平行四边形法则和三角形法则求得.用平行四边形法则时,两个已知向量也是共同的起点,和向量是始点与它们重合的那条对角线,而差向量是另外一条对角线,方向是从减向量指向被减向量;用三角形法则时,把减向量与被减向量的始点重合,则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点,可以简记为“连终点,方向指向被减”.(2)可以将两向量的差转化为求被减向量与减向量相反向量的和来求,即a-b=a+(-b),再用向量求和的三角形法则或平行四边形法则来求.3.两个重要的结论(1)以向量=a,=b为邻边作平行四边形AB,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a,=a-b.(2)|a|-|b|ab|a|+|b|案例 已知两向量a、b,求证:若|a+b|=|a-b|,则a的方向与b的方向垂直;反之也成立.【探究】要证明a的方向与b方向垂直,只需证明以a、b为邻边的平行四边形为矩形,即证两对角线长度相等即可.【证明】若|a+b|=|a-b|,设=a,=b,以、为邻边作平行四边形,则|a+b|=|,|a-b|=|,又|a+b|=|a-b|,|=|,即平行四边形OACB的对角线相等,平形四边形OACB为矩形,a与b的方向垂直.若a与b的方向垂直,如右图所示,设=a,=b,以、为邻边的平行四边形为矩形.|=|,而=a+b,=a-b,|a+b|=|a-b|.规律总结 此题的证明关键利用了两个向量和与差的几何意义,同时指出了平行四边形两对角线向量分别是邻边向量的和与差,本题求证的结论非常重要,应领会其实质.活学巧用【例1】如右图所示,O是平行四边形ABCD的对角线、的交点,设=a,=b,=c,试证明:b+c-a=.分析:要证b+c-a=,可转化为证明b+c=+a,从而利用向量求和证明.也可从c-a入手,利用向量的减法证明.证法一:因为b+c=+=+=,+a=+=OB.所以b+c=+a,即b+c-a=.证法二:因为c-a=-=-=+=,而=+=-b.所以c-a=-b,即b+c-a=.【例2】化简下列各式:(1)-+-;(2)(-)-(-);(3).分析:本题是向量加减法的混合运算,应注意起点相同的两向量的差等于以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量,并且注意相反向量的使用.解:(1)-+-=-(+)=-0=.(2)(-)-(-)=(-)+-=+=+=0.(3)【例3】如右图,已知a、b,求作a-b.作法一:在平面内任取一点O,作=a,=b,则=-=a-b.(如图甲)本作法是按向量减法的三角形法则,将两向量的始点重合,则差向量是连起终点,方向指向被减向量.作法二:在平面内任取一点O,作=a,OB=b,=-b,由向量加法的平行四边形法则可得:=+=-=a-b.(图乙) 甲 乙【例4】 如图,ABCD中=a,=b,(1)用a、b表示、.(2)当a、b满足什么条件时,a+b与a-b的基线互相垂直?(3)当a、b满足什么条件时, |a+b|=|a-b|.(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?分析:本题主要考查向量的加、减法、向量的模与平行四边形的性质,解决本题应注意以a、b两向量为邻边的平行四边形的对角线向量为a与b的和与差,并结合平行四边形的分类,作出正确的解答.解:(1)=+=a+b,=-=a-b.(2)由(1)知a+b=,a-b=.a+b与a-b的基线垂直,即.又ABCD为平行四边形,ABCD为菱形,即a、b应满足|a|=|b|.(3)|a+b|=|a-b|,即|=|.矩形的对角线相等.当a与b的基线垂直时,满足|a+b|=|a-b|.(4)不可能,因为ABCD的两对角线不可能平行,因此a+b与a-b不可能为共线向量.那么就不可能为相等向量了.配合各任课老
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