高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入同步练习 北师大版选修

高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.在命题“复数a+bi(a,bR)的实部是a,虚部是bi;复数a+bi(a,bC)的实部是a,虚部是b;任何两个复数不能比较大小;任何两个虚数都不能比较大小”中正确命题的个数有（ ）A.0 B.1 C.2 D.3答案:B思路分析：四个命题中均错,只有正确,其中错在虚部是bi,应为b;错在其中的a,bC,应将其改为a,bR,故选B项.2.已知xR,+(x2-8x+15)i是实数,则（ ）A.x=3.5 B.x3.1 C.x=1.3 D.x=5答案:D思路分析：+(x2-8x+15)i是实数,解得x=5.3.若复数cos2+i(1-tan)(R)为纯虚数,则的值是（ ）A.k+(kZ) B.k-(kZ)C.+(kZ) D.k(kZ)答案:B思路分析：由于复数cos2+i(1-tan)(R)为纯虚数,故其实部为零,虚部不为零,即由此cos2=0可得cos2-sin2=0,即tan2=1,tan=1.而1-tan0,tan=-1.=k-(kZ).4.下面四个命题中,真命题是（ ）-1的平方根只有一个,就是i i是方程x2+1=0的一个根 2i是一个无理数 1-ai(aR)是一个复数A. B. C. D.答案:D思路分析：中-1的平方根应有两个,就是i,故不正确.所以,A、C两项可排除.显然正确,而i是一个虚数,故不正确.所以B项可排除,因此,应选择D项,其实,显然正确.5.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆答案:C思路分析：类比圆的复数“标准方程”,|z-i|=|z-(0+i)|=5,用复数模的几何意义和圆的复数方程求解.|3+4i|=5,|z-i|=5表示以(0,1)为圆心,5为半径的圆.故选C项.6.已知复数(x-2)+yi(x,yR)的模是,则的最大值是（ ）A. B. C. D.答案:D思路分析：(x-2)+yi(x,yR)的模是,即|(x-2)+yi|=,亦即(x-2)2+y2=3,复数z=x+yi(x,yR)所对应点A(x,y)是以M(2,0)为圆心,以为半径的圆.而可以先变形为,可以理解为过O(0,0)和A(x,y)两点的直线斜率,自己画一下草图可知,斜率的最值恰好在直线OA与圆相切时取得,的最大值为.7.已知M=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,N=-1,3,MN=3,则实数a=_.答案：-1思路分析：MN=3,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,解得a=-1.8.已知关于x、y的方程组有实数解,求实数a、b的值.解：x、y是实数,根据复数相等的充要条件,由方程(1)可得解得x=将它们代入方程(2),得(5+4a)-(6+b)i=9-8i,a、b是实数,再利用复数相等的充要条件,a=1,b=2.9.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(kR),且z0,则k=_.答案：2思路分析：认真审题,“z0”说明“z是实数且小于0”,然后具体求解:z0,则zR.故虚部k2-5k+6=0,(k-2)(k-3)=0,k=2或k=3.但k=3时,z=0,不合题意,故舍去.故k=2.综合应用10.若方程x2+mx+2xi=-1-mi有实根,求实数m的值,并求出此实根.解：设实根为a,代入方程,并由复数相等的定义,得消去m,得a=1,m=2.因此,当m=-2时,原方程的实根为x=1;当m=2时,原方程的实根为x=-1.思路分析：利用复数相等的定义可以解复数计算及有关复数方程的系列问题.11.已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,(x,yR),(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程;(2)求方程的实根的取值范围.解：(1)设实根为t,则t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,即(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0,根据复数相等的充要条件得消去t得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.所求点(x,y)的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(1)由(2)知,所求点(x,y)的轨迹是以(1,-1)为圆心,以r=(为半径的圆,故由于直线t+x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=2有公共点,即|t+2|2,-4t0.故方程的实根的取值范围为-4,0.答：(1)点(x,y)的轨迹方程为(x