高中数学 第2章 推理与证明 2_1_1 合情推理第二课时互动课堂 苏教版选修2-21

高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理第二课时互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导1.合情推理包括归纳推理和类比推理,它是一种含有较多猜想成分的推理,因此应注意推出的结论不一定正确. 数学真理知识的发现、发掘和推陈出新,离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程.归纳推理和类比推理常常被认为是发现数学真理的重要方法,前者是从特殊过渡到一般的思想方法,后者是由此及彼及由彼及此的联想方法.只要略略浏览中外数学史,即可发现许多有深远意义的极为重要的数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的.杰出的数学家欧拉、高斯等人都是运用归纳与类比的大师.归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想.因此在数学教学中加强这方面有趣而生动的训练,有助于培养我们的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.2.推理是人的一种思维形式,在数学中有着不可替代的作用,同学们要以日常生活中的许多事实为依据,结合以前所学知识,认真体会推理的内涵,并初步运用推理知识解释一些现象.(1)归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式.归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法. 归纳推理有以下几个特点：归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测的性质;归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的. 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.(2)运用归纳推理时的一般步骤. 首先,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);最后,对所得出的一般性命题进行检验.在数学上,检验的标准是能否进行严格的证明.(3)类比推理(以下简称类比)是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.(4)类比推理有以下几个特点：类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性.它以旧有认识作基础,类比出新的结果;类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但却具有发现的功能.(5)在运用类比推理时,其一般步骤为：首先,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);然后,用一类对象的性质去推测另 一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.(6)注意,两个系统可作类比的前提是,它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致.因此,类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚,这不同于比喻.(7)类比推理是各种逻辑思维方法中最富于创造性的一种方法.这是因为,类比推理不像归纳推理那样局限于同类事物,也不像演绎法那样受到一般原理的严格制约.运用类比推理,不仅可以跨越各类事物的界限,进行不同事物的类比,而且既可以比较事物的本质属性,也可以比较非本质属性.同时,类比推理比归纳推理更富于想象,因而也就更具有创造性.事实上,人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理、公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的.因此,类比推理已成为人类发现、发明的重要工具.3.合情推理所进行的推理过程概括为：活学巧用1.在ABC中，射影定理可表示为a=bcosC+ccosB.其中a、b、c依次为角A、B、C的对边.类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想.解析：如右图,在四面体PABC中，S1、S2、S3、S分别表示PAB、PBC、PCA、ABC的面积，、依次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成二面角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S=S1cos+S2cos+S3cos.(其正确性，同学们可自己证明)2.在ABC中，余弦定理可叙述为a2=b2+c2-2bccosA,其中a、b、c依次为角A、B、C的对边.类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想.解析：如例1图示，S1、S2、S3、S分别表示PAB、PBC、PCA、ABC的面积，、依次表示平面PAB与平面PBC、平面PBC与平面PCA、平面PCA与平面PAB所成二面角的大小，猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为S2=-2S1S2cos-2S2S3cos-2S3S1cos. 上式可叙述为四面体的一个面的面积的平方，等于其他各面面积平方的和，减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍. 关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理证明三角形余弦定理的方法，给出较简捷的证法. 先看由三角形射影定理证明其余弦定理的方法：在ABC中，a、b、c分别表示角A、B、C的对边，则有a=bcosC+ccosB, b=ccosA+acosC, c=acosB+bcosA, a-b-c可得a2-b2-c2=-2bccosA，a2=b2+c2-2bccosA. 下面给出三维余弦定理的证明，如题1图形，记号表示面积为S1和S2的两个面所成的二面角大小，由题1的三维射影定理可知：S=S1cos+S2cos+S3cos, S1=S2cos+S3cos+Scos, S2=S3cos+Scos +S1cos, S3=Scos+S1cos+S2cos, S-S1-S2-S3可得S2-S12-S22-S32=-2S1S2cos-2S2S3cos-2S3S1cos=-2S1S2cos-2S2S3cos-2S3S1cos,移项得欲证三维余弦定理.3.一个空间用n个平面去划分，最多能被分成几部分？解析：在空间只有三个平面才能交于一点(就是说，四个或四个以上平面不能交于一点)以及三个或三个以上的平面产生的交线互不平行的时候，用n个平面去划分空间，才能使分得的空间块的数目最多.因此，在后面的分析中，我们假设的这些条件都是满足的.用Vn表示由n个平面去划分空间时所得空间块的数目.考查增加一个平面，可以把空间多分割出几个空间块，由于第n个平面与前n-1个平面相交，因此第n个平面上就有n-1条交线，这些交线满足例3的假定条件，因此，根据例3的结论可知第n个平面被n-1条直线分成=个平面块，而每个平面块把它所在的那个空间块一分为二，于是增加了个空间块.因此得到递推