高中数学第1章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用课件北师大版选修2_3

第2课时 分类加法计数原理 和分步乘法计数原理的应用 课前预习 学案 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容 均不相同 (1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？ (2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种 不同的投法？ 提示： (1)各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能 算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数 原理，共有5 420(种) (2)若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮 筒有4种可能，第二封信仍有4种可能第九封信还有4种可能 所以共有49种不同的放法 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有 关做一件事的不同方法种数的问题其区别在于：分类加法计 数原理针对的是“_”问题，其中各种方法_，用 其中任何一种方法都可以做完这件事分步乘法计数原理针对 的是“_”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分 ，并且完成这件事的任何一种方法都需要分步只有各个步骤 都完成之后才算做完这件事 分类相互独立 分步 2应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是 弄清楚是“_”还是“_”，接下来还要搞清楚 “_”或“_”的具体标准是什么 分类分步 分类分步 用两个计数原理解决问题时应 注意的问题 1在解决简单问题时 ，首先要弄清是“分类”还是“分步 ”判断的主要方法是结合题目中的条件、结论，研究题中涉 及到的方法能否独立完成任务，若能独立完成，则用分类加 法计数原理解决，在此种方法中应注意各类方法不重不漏； 若所涉及方法不能单独完成任务，则用分步乘法计数原理解 决，在此方法中要合理设计步骤、顺序，各步互不干扰最 后利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理的公式解决即 可 2对于一些较复杂的题目，我们可以根据题意恰当地画 出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，然 后利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决若计数 时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限 制条件的总数，再减去不满足条件的种数 1从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加， 其和为偶数的不同取法的种数有( ) A30 B20 C10 D6 解析： 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可 分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种方法，取出的 两数都是奇数，共有3种方法，故由加法原理共有N336 种 答案： D 2某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字 固定，从“0000”到“9999”共10 000个号码公 司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠 卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A2 000 B4 096 C5 904 D8 320 解析： 可从反而考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的号 码共有8 8 8 84 096(个)，所以符合题意的号码共有10 000 4 0965 904(个)，故选C 答案： C 3用数字2,3组成四位数，且数字2,3，至少都出现一次， 这样的四位数共有_个(用数字作答) 解析： 因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中 四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有 24214个故填14. 答案： 14 4用0,1， ，9这十个数字，可组成多少个满足下列条件 的数： (1)三位整数； (2)小于500的无重复数字的三位整数 解析： (1)百位数字有9种选择，十位和个位的数字都各 有10种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的有9 10 10 900个三位整数 (2)百位数字只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字 有8种选择，由分类乘法计数原理知，适合题意的三位数共有 4 9 8288(个) 课堂互动讲义 (1)8本不同的书，任选了3本分 给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？ (2)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ 思路导引 (1)每位同学取一本书，因此应分三步，用分 步乘法计数原理 (2)每一位旅客都可以住进4个旅馆中的任何一个 分给问题 解析： (1)分三步，每位同学取书一本，第1、2、3个同 学分别有8、7、6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分 法共有N8 7 6336种 (2)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同 的方法共有N4 4 464种 在运用分步乘法计数原理时， 当n步中完成每一步的方法数均为m，且m与n相近时，所得结 果常发生mn与nm之间的混淆，正确解答问题的关键在于弄清“ 谁选择谁 ”，若“p选择q”，则答案应是qp.如4封信选择3个邮 筒，答案为34. 1(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一 项，共有多少种报名方法？ (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种 可能的结果？ 解析： (1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一 项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成 ，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项， 选法为3种，所以共有333381种报名方法 (2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项 冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成 ，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步而每项 冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有444 4364种可能的情况 (1)用0,1,2， ，9可以组成多少 个4位号码； (2)用0,1,2， ，9可以组成多少个4位整数； (3)用0,1,2， ，9可以组成多少个无重复数字的4位整数； (4)用0,1,2， ，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数 思路导引 4位号码的首位可为0,4位整数的首位不能为 0,4位奇数的首位不为0且个位必须为奇数 组数问题 边听边记 (1)由于每位号码都可选用0,1,2， ，9中的 任何一个数字，故由分步乘法计数原理可以组成10410 000 个4位号码 (2)由于首位数字不能为零，那么首位数字有9种，其他各 位数字均有10种，故由分步乘法计数原理得可以组成9 1039 000个4位整数 (3)由于首位数字不能为零且无重复数字，故用0,1,2， ， 9可以组成9 9 8 74 536个无重复数字的4位整数 (4)先确定个位数字，再确定首位数字，然后确定其他各位 数字，可以组成5 8 8 72 240个无重复数字的4位奇数 对于组数问题，一般按特殊位 置(末位或首位)由谁占领分类，每类中按特殊位置(或元素)优 先的方法分步求解 2从0、1、2、3、4、5这些数字中选出4个，问能形成多 少个无重复数字且能被5整除的四位数？ 解析： 满足条件的四位数可分为两类 第一类是0在末位上，需确定前三位数，分三步完成，第 一步确定首位有5种方法第二步确定百位有4种方法，第三步 确定十位有3种方法 第一类共有5 4 360个 第二类是5在末位，前三位数也分三步完成第一步确定 首位有4种方法，第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位 有3种方法 第二类共有4 4 348个 满足条件的四位数共有6048108个 (12分)如图，一环形花坛分成A 、B、C、D四块现有4种不同的花供选种，要求在每块地里 种1种花，且相邻的2块种不同的花，则共有多少种不同的种植 方法 思路导引 本题可以先分类，由A、C是否种相同的花分 为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类 种植与涂色问题 规范解答 方法一：分为两类， 第一类：当花坛A、C中花相同时有4 3 1 336种. 6分 第二类：当花坛A、C中花不同时有4 3 2 248种. 10分 共有364884种.12分 方法二：分为四步 第一步：考虑A，有4种； 3分 第二步：考虑B，有3种； 6分 第三步：考虑C，有两类，一是A与C同，C的选法有1种 ，这样第四步D的选法有3种二是A与C不同，C的选法是2种 ，此时第四步D的选法也是2种 共有4 3 (1 32 2)84种.12分 给区域涂色(种植)问题常涉及 分类与分步，一般思路：先给区域标上相应序号或字母，然 后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类 ，最后利用两个原理求解 3.如图，用5种不同颜色给A、B、C、D四个区域涂色，规 定一个区域只涂一种颜色，相邻区域的颜色不能相同，共有多 少种不同的涂色方案？ 解析： 方法一：分四步 第一步：先涂A区域，有5种不同选法 第二步：涂B区域，有4种不同选法 第三步：涂C区域，与A、B均相邻，有3种不同选法 第四步：涂D区域，与B、C均相邻，有3种不同选法 根据分步乘法计数原理，共有5 4 3 3180(种)不同涂色 方案 方法二：根据题意，可分类求解 第一类：用3种颜色涂色，有5 4 360(种)不同涂法 第二类：用4种颜色涂色，有5 4 3 2120(种)不同涂法 根据分类加法计数原理，共有60120180(种)不同涂色 方案 如图所示 ，将四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色 ，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用 ，求不同的染色方法的总数 【错解】 分五步，第一步给A涂色，有5种涂法，第二 步，给B涂色，有4种涂法，第三步，给C涂色，有4种涂法， 第四步，给D涂色，有3种涂法，第五步，给S涂色，有2种涂 法，根据分步计数原理可知共有5 4 4 3 2480种不同涂色方 法 【错因】 给C涂色的四种