高中数学 2_4 向量的数量积第二课时互动课堂学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 2.4 向量的数量积第二课时互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导 从数学角度考虑，我们希望向量的数量积也能像数量乘法那样满足某些运算律.由数量积定义ab=|a|b|cosab=|b|a|cosb，a=ba,知数量积运算满足交换律. 我们知道一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正投影的数量，如果将分配律（a+b）c=ac+bc中的向量c换成它的单位向量c0，则分配律变为（a+b）c0=ac0+bc0（*）. 证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正投影的数量等于各个向量在这个方向上投影的数量和. 为此，我们画出（*）式两边的几何图形进行推导.作轴l与向量c的单位向量c0平行，作=a, =b,作=a+b.设点O、A、B在轴l上的射影为O、A、B，根据向量的数量积定义有c0=ac0AB=c0=bc0OB=c0=（a+b）c0但对轴上任意三点O、A、B，都有,于是（*）式成立.（*）式两边同乘以|c|，得（a+b）c=ac+bc.容易验证数乘以向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数,有(ab)=（a）b=a（b）.规律总结 （1）数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律.（2）从力做功的情况看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有（a）b=(ab).（3）两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律：（a+b）c=ac+bc.(4)平面向量的数量积不满足结合律a（bc）=(ab)c是错误的，这是因为ab与bc都是数量，所以a（bc）代表的是与a共线的向量；（ab）c代表的是与c共线的向量，向量a与c不一定共线，当然就不一定相等.活学巧用【例1】 下列等式中，其中正确的是（ ）|a|2=a2;（ab）2=a2b2;（a+b）2=a2+2ab+b2.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：|a|2=a2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；.（ab）2=（|a|b|cos）2=|a|2|b|2cos2(a+b)2=(a+b)（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.答案：B【例2】 已知|a|=6，|b|=8，a,b=120，求|a+b|2，|a+b|.解析：可以利用运算律结合性质处理.由题有|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=62+268cos120+82=52，|a+b|=.【例3】运用内积证明矩形对角线相等.解析：设=a, =b,且ab，则=a+b，=-=b-a.于是|2=（a+b）2=a2+2ab+b2；|2=（b-a）2=b2-2ab+b2.又ab，即ab=0，|2=|2，即|=|，故矩形的两对角线长相等.【例4】 求证：直径上的圆周角为直角.已知：AC为O的直径，ABC是直径AC上的圆周角，如图所示.求证：ABC=90.分析：欲证ABC=90,只须证.证明：设=a，=b，有=a.=a+b,=a-b，且|a|=|b|，=（a+b）（a-b）=0，即ABC=90.【例5】设e1,e2是夹角为45的两个单位向量，且a=e1+2e2,b=2e1+e2,求|a+b|的值.解：因a+b=3e1+3e2，所以|a+b|2=|3e1+3e2|2=9(e1+e2)2=9(e12+2e1e2+e22)=9(1+211cos45+1)=9(2+)，|a+b|=.配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学