高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题八 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想数形结合思想课件 理

第1讲讲 函数与方程思想、数形结结合思想 高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、 三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结 合思想一般在填空题中考查. 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究 数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识 ，建立 函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析 问题、转化问题，从而使问题获 得解决的思想方法. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量 关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方 程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题 ，使问题获 得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化，对于函数yf(x)， 当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数 的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的 性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函 数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方 程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的 有关理论. 3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数” 和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两 种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的 联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数 的图象来直观地说明函数的性质；借助于数的精 确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作 为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地 阐明曲线的几何性质. 4.在运用数形结合思想分析和解决问题时 ，要注意三 点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以 及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既 分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设 参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数， 做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数 学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合. 热点一 函数与方程思想的应用 微题型1 不等式问题中的函数(方程)法 【例11】 (1)f(x)ax33x1对于x1，1，总 有f(x)0成立，则a_. (2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数 ，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0， 则不等式f(x)g(x)0的解集是_. 答案 (1)4 (2)(，3)(0，3) 探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思 想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质 解决问题；(2)函数f(x)0或f(x)0恒成立，一般可转 化为f(x)min0或f(x)max0；已知恒成立求参数范围可 先分离参数，然后利用函数值域求解. 探究提高 解析几何中的最值是高考的热点 ，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解 此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化 的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示 为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于 函数最值的探求来使问题得以解决. 解析 (1)由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两 个不等的实根，从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb 的图象有两个交点，如图所示. 结合函数的图象，可得0b2，故填(0，2). 答案 (1)(0，2) (2)6 探究提高 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、 对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个 数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两 边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时， 需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一 坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为 方程解(或函数零点)的个数. 探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系 函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当 的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、 下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以 避免繁琐的运算，获得简捷的解答. 探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图 形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖 掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置 关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的 关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程 组的解的问题进行讨论. 1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变 化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题 的答案，这就需要使用函数思想. 2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解( 证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问 题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系 式或构造中间函数来求解. 3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数， 这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这 个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元 思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分 离参变量. 4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示 的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等 都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的 数量关系时，我们可以通过图形分析