高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4节 万有引力定律及其应用

到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”第4节 万有引力定律及其应用(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。()(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。()(3)只有天体之间才存在万有引力。()(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由FG计算物体间的万有引力。()(5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。()(6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。()(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律。(2)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。(3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。突破点(一)开普勒行星运动定律与万有引力定律典题先试1(2016全国丙卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：选B开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。 2(2013江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：选C太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得：，故，C正确。3(2017开封质检)北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道。其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为()A.B.2C. D.解析：选C同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，根据开普勒第三定律 k，得 3，即同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为，故选项C正确。题后悟通(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。(3)开普勒第三定律k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。突破点(二)天体质量和密度的计算1“自力更生”法(gR)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Gmg得天体质量M。(2)天体密度。(3)GMgR2称为黄金代换公式。2“借助外援”法(Tr)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。(1)由Gm得天体的质量M。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。典例(多选)(2017上饶二模)某人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过的角度为，引力常量为G，则()A航天器的轨道半径为B航天器的环绕周期为C月球的质量为 D月球的密度为解析根据几何关系得r，故A错误；经过时间t，航天器与月球的中心连线扫过角度为，则，得T，故B正确；航天器由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以Gmr，得M，故C正确；月球的体积Vr33，月球的密度，故D错误。答案BC易错提醒(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有rR；计算天体密度时，VR3中的R只能是中心天体的半径。集训冲关1(多选)(2017超级全能生26省联考)已知万有引力常量为G，如果将月球绕地球运动的轨道视为圆周，并测出了其运行的轨道半径R和运行周期T，则由此可推算()A地球的质量B地球的半径C月球的运行速度 D地球对月球的万有引力解析：选AC设月球的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得：Gm，得：M，即可求出地球的质量M，不能求出地球的半径。故A正确，B错误；月球的运行速度为v，故C正确；地球对月球的万有引力为FG，由于月球的质量m无法求出，所以地球对月球的万有引力不能求出。故D错误。2(2017六安一中模拟)我国航天事业取得了突飞猛进地发展，航天技术位于世界前列。在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送“操作指令”到接收到卫星“已操作”的信息需要的时间为2t(设卫星接收到“操作指令”后立即操作，并立即发送“已操作”的信息到控制中心)，测得该卫星运行周期为T，地球半径为R，电磁波的传播速度为c，由此可以求出地球的质量为()A.B.C. D.解析：选B由xvt可得：卫星与地球的距离为xc2tct卫星的轨道半径为rRxRct；由万有引力公式可得：Gmr解得：M故B正确。3(多选)(2017南平质检)我国发射的一颗地球同步通讯卫星，其定点位置与东经98的经线在同一平面内。甘肃省嘉峪关有一个微波通讯站(如图中P点位置)，它的经度和纬度分别为东经98和北纬40。已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g，光速为c，万有引力常量为G。下列说法中正确的是()A根据提供的物理量能求出地球的质量B根据提供的物理量能求出该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期C根据提供的物理量能求出该卫星发出的微波信号传到嘉峪关微波接收站所需的时间D根据提供的物理量能求出该卫星的质量解析：选ABC由题意，通过几何关系，结合地球的半径，即可求解卫星离地心的高度，再由引力提供向心力，结合地球自转的周期，则可求得地球的质量，故A正确；由于是地球同步通讯卫星，因地球自转周期为T，那么卫星绕地球做匀速圆周运动的周期也为T，故B正确；根据几何关系，结合地球的半径，可求得卫星离地面的高度，再依据t，已知光速为c，从而求得微波信号传播的时间，故C正确；根据引力提供向心力，列出的表达式中，等式两边的卫星质量可约去，因此无法求解卫星的质量，故D错误。突破点(三)天体表面的重力加速度问题重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。多维探究(一)求天体表面某高度处的重力加速度典例1科幻大片星际穿越是基于知名理论物理学家基普索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足(其中c3108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为()A108 m/s2B1010 m/s2C1012 m/s2 D1014 m/s2解析黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有mg，又有，联立解得g，代入数据得重力加速度约为1012 m/s2，故选项C正确。答案C(二)求天体表面某深度处的重力加速度典例2假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A1B1C.2 D.2解析如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mgG；设矿井底部处的重力加速度为g，等效“地球”的质量为M，其半径rRd，则矿井底部处的物体m受到的重力mgG，又MVR3，MV(Rd)3，联立解得1，A对。答案A(三)天体表面重力加速度与抛体运动的综合典例3(2015海南高考)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为()A.R B.RC2R D.R解析平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即xv0t，在竖直方向上做自由落体运动，即hgt2，所以xv0 ，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以，根据公式Gmg可得g，故，解得R行2R，故C正确。答案C万有引力的三种计算思路(一)用万有引力定律计算质点间的万有引力公式FG适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。1.(多选)(2013浙江高考)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是()A地球对一颗卫星的引力大小为B一颗卫星对地球的引力大小为C两颗卫星之间的引力大小为D三颗卫星对地球引力的合力大小为解析：选BC由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d2rcos 30r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误。(二)用万有引力定律的两个推论计算万有引力推论：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F0。推论：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M)对它的引力，即FG。2.如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度()A一直增大B一直减小C先增大后减小 D先减小后增大解析：选D设地球的平均密度为，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力FGGmr，物体的加速度aGr，由题意可知r先减小后增大，故选项D正确。(三)填补法求解万有引力运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。3.如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()AGB0C4G DG解析：选D若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，FGG，故D正确。反思领悟(1)万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。(2)在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理。(3)可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。对点训练：开普勒行星运动定律与万有引力定律1(2017上海黄浦区检测)关于万有引力定律，下列说法正确的是()A牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值B万有引力定律只适用于天体之间C万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律D地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的解析：选C牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量的数值，万有引力定律适用于任何物体之间，万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律，选项A、B错误，C正确；地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是不相同的，选项D错误。2.对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)()A.B.C. D.解析：选A由mr可得，结合题图图线可得，故M，A正确。3(多选)(2017北京通州区摸底)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。下列选项中说法正确的是()A在北极地面称量时，弹簧秤读数为F0GB在赤道地面称量时，弹簧秤读数为F1GC在北极上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F2GD在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F3G解析：选AC北极地面物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上随地球一起自转所需要的向心力，则有F1G，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2G，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，弹簧秤读数F3G，故D错误。4(2016全国乙卷)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A1 h B.4 hC8 h D16 h解析：选B万有引力提供向心力，对同步卫星有：mr，整理得GM当r6.6R地时，T24 h若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地三颗同步卫星A、B、C如图所示分布。则有解得T4 h，选项B正确。对点训练：天体质量和密度的计算5(多选)(2016海南高考)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是()A卫星的速度和角速度B卫星的质量和轨道半径C卫星的质量和角速度D卫星的运行周期和轨道半径解析：选AD根据线速度和角速度可以求出半径r，根据万有引力提供向心力，则有m，整理可得M，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则由m2r，整理得M，故选项D正确。6(2017铜陵质检)有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)()A. B.4倍C16倍 D64倍解析：选D天体表面的物体所受重力mg，又知，所以M，故 364。D正确。7.(2017文登模拟)如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为弧度。已知万有引力常量为G，则月球的质量是()A.B.C. D.解析：选C因为每经过时间t通过的弧长为l，故卫星的线速度为v，角速度为，卫星的运行半径为R，则根据万有引力定律及牛顿第二定律得：，则月球的质量M，选项C正确。8据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍。已知近地卫星绕地球运动的周期约为T，引力常量为G。则该行星的平均密度为()A. B.C. D.解析：选C万有引力提供近地卫星绕地球运动的向心力Gm，且地，由以上两式得地。而，因而星，C正确。对点训练：天体表面的重力加速度问题9宇航员站在某一星球距表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为()A. B.C. D.解析：选A设该星球表面的重力加速度g，小球在星球表面做平抛运动，hgt2。设该星球的质量为M，在星球表面有 mg。由以上两式得，该星球的质量为M，A正确。10(2017高密模拟)据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64 kg物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g10 m/s2)()A40 kg B.50 kgC60 kg D30 kg解析：选A根据万有引力等于重力mg得g，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力可认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：m kg40 kg，故A正确。11(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星R地14，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g，空气阻力不计。则()Agg15 B.gg52CM星M地120 DM星M地180解析：选AD由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t，因此得，A正确，B错误；由Gmg得M，因而2，C错误，D正确。12(2017西安高三检测)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项图所示的四个F随x的变化关系图像正确的是()解析：选A令地球的密度为，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g。由于地球的质量为MR3，所以重力加速度的表达式可写成：g。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，gr，当rR时，g与r平方成反比。即质量一定的小物体受到的引力大小F在地球内部与r成正比，在外部与r的平方成反比。故选A。考点综合训练13已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为N，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为()AT2 B.T2 CT2 DT2 解析：选A在北极，物体所受的万有引力F与支持力N大小相等，在赤道处有FNNmR2，解得T2 ，A正确。14(多选)(2017西安模拟)欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它近月点的高度，表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于()AmaBmCm(Rh)2 Dm解析：选AB“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得Fma，A正确；由万有引力定律得FG，又月球表面上，Gmg，解得Fm