七年级数学下册 9_5 单项式乘多项式法则的再认识—因式分解(一)同步练习1 （新版）苏科版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争9.5 单项式乘多项式法则的再认识因式分解(一)一选择题1下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）Ax2+y2+2x+2y Bx2+y2+2xy2 Cx2y2+4x+4y Dx2y2+4y42将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）Aa21 Ba2+a Ca2+a2 D（a+2）22（a+2）+13已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A8是a的因子，8是b的因子B8是a的因子，8不是b的因子C8不是a的因子，8是c的因子D8不是a的因子，8不是c的因子4把a24a多项式分解因式，结果正确的是（）Aa（a4）B（a+2）（a2）Ca（a+2）（a2）D（a2）245把8a38a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A2a（4a24a+1）B8a2（a1）C2a（2a1）2D2a（2a+1）26分解因式a2bb3结果正确的是（）Ab（a+b）（ab）Bb（ab）2Cb（a2b2）Db（a+b）27多项式77x213x30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A0 B10 C12 D228小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：ab，xy，x+y，a+b，x2y2，a2b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2y2）a2（x2y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A我爱美 B苏州游 C爱我苏州 D美我苏州9设68120196812018=a，2015201620132018=b，则a，b，c的大小关系是（）AbcaBacbCbacDcba10多项式2x2xy15y2的一个因式为（）A2x5y Bx3y Cx+3y Dx5y11下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A6a2b2=3ab2ab B2x2+8x1=2x（x+4）1Ca23a4=（a+1）（a4） D12下列因式分解错误的是（）Ax2y2=（x+y）（xy） Bx2+y2=（x+y）2Cx2+xy=x（x+y） Dx2+6x+9=（x+3）213下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）x210x+25；4a2+4a1；x22x1；A1个B2个C3个D4个14已知a，b，c为ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a4b4，判断ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形1510名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+x102，N=y12+y22+y102，则（）AMNBMNCM=NDM、N的大小关系不确定二填空题16分解因式：a34a2b+4ab2=17若ab=2，ab=1，则代数式a2bab2的值等于18分解因式：2a（b+c）3（b+c）=19分解因式：4x24xy+y2=20分解因式：（m+1）（m9）+8m=21分解因式：（2a+b）2（a+2b）2=22将m3（x2）+m（2x）分解因式的结果是三解答题23分解因式（1）x36x2+9x；（2）a2（xy）+4（yx）24阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式分析：这个式子的常数项2=12，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+12解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x18=启发应用（2）利用因式分解法解方程：x26x+8=0；（3）填空：若x2+px8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是25“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1c2，并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x22xy8y2解：如图1，其中1=11，8=（4）2，而2=12+1（4）x22xy8y2=（x4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=11，3=（1）3，2=12；而2=13+1（1），1=（1）2+31，3=12+11；x2+2xy3y2+3x+y+2=（xy+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x217xy+12y2=2x2xy6y2+2x+17y12=x2xy6y2+2x6y=（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积，求m的值26通过对因式分解的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形27把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”例如：3232+22=1312+32=1012+02=1，7072+02=4942+92=9792+72=13012+32+02=1012+02=1，所以32和70都是“快乐数”（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”28能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）29生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2x2可以因式分解为（x1）（x+1）（x+2），当x=29时，x1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）30下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的A提取公因式B平方差公式C两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解参考答案与试题解析一选择题1（2017静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）Ax2+y2+2x+2yBx2+y2+2xy2Cx2y2+4x+4yDx2y2+4y4【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）22=（x+y+）（x+y）；C、原式=（x+y）（xy）+4（x+y）=（x+y）（xy+4）；D、原式=x2（y2）2=（x+y2）（xy+2），故选A【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键2（2016潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）Aa21Ba2+aCa2+a2D（a+2）22（a+2）+1【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果【解答】解：a21=（a+1）（a1），a2+a=a（a+1），a2+a2=（a+2）（a1），（a+2）22（a+2）+1=（a+21）2=（a+1）2，结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键3（2016台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A8是a的因子，8是b的因子B8是a的因子，8不是b的因子C8不是a的因子，8是c的因子D8不是a的因子，8不是c的因子【分析】根据a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18，得到a为12与18的公倍数，再由a的范围确定出a的值，进而表示出b，即可作出判断【解答】解：（a，b）=12，（a，c）=18，a为12与18的公倍数，又12，18=36，且a介于50与100之间，a=362=72，即8是a的因子，（a，b）=12，设b=12m，其中m为正整数，又a=72=126，m和6互质，即8不是b的因子故选B【点评】此题考查了公因式，弄清公因式与公倍数的定义是解本题的关键4（2016自贡）把a24a多项式分解因式，结果正确的是（）Aa（a4）B（a+2）（a2）Ca（a+2）（a2）D（a2）24【分析】直接提取公因式a即可【解答】解：a24a=a（a4），故选：A【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的5（2016聊城）把8a38a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A2a（4a24a+1）B8a2（a1）C2a（2a1）2D2a（2a+1）2【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：8a38a2+2a=2a（4a24a+1）=2a（2a1）2故选：C【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键6（2016梅州）分解因式a2bb3结果正确的是（）Ab（a+b）（ab）Bb（ab）2Cb（a2b2）Db（a+b）2【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案【解答】解：a2bb3=b（a2b2）=b（a+b）（ab）故选：A【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键7（2016台湾）多项式77x213x30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A0B10C12D22【分析】首先利用十字交乘法将77x213x30因式分解，继而求得a，b，c的值【解答】解：利用十字交乘法将77x213x30因式分解，可得：77x213x30=（7x5）（11x+6）a=5，b=11，c=6，则a+b+c=（5）+11+6=12故选C【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识注意ax2+bx+c（a0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）8小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：ab，xy，x+y，a+b，x2y2，a2b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2y2）a2（x2y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A我爱美 B苏州游 C爱我苏州 D美我苏州【分析】对（x2y2）a2（x2y2）b2因式分解，即可得到结论【解答】解：（x2y2）a2（x2y2）b2=（x2y2）（a2b2）=（xy）（x+y）（ab）（a+b），xy，x+y，a+b，ab四个代数式分别对应爱、我，苏，州，结果呈现的密码信息可能是“爱我苏州”，故选C【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键9（2016厦门）设68120196812018=a，2015201620132018=b，则a，b，c的大小关系是（）AbcaBacbCbacDcba【分析】根据乘法分配律可求a，将b变形为20152016（20152）（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差公式和算术平方根可求c，再比较大小即可求解【解答】解：a=68120196812018=681（20192018）=6811=681，b=2015201620132018=20152016（20152）（2016+2）=201520162015201622015+22016+22=4030+4032+4=6，c=681，bca故选：A【点评】本题考查了因式分解的应用，熟记乘法分配律、平方差公式的结构特点是解题的关键注意整体思想的运用10多项式2x2xy15y2的一个因式为（）A2x5yBx3yCx+3yDx5y【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可【解答】解：2x2xy15y2=（2x+5y）（x3y）故选：B【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键11下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A6a2b2=3ab2abB2x2+8x1=2x（x+4）1Ca23a4=（a+1）（a4）D【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定【解答】解：A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B、右边结果不是积的形式，不符合题意；C、a23a4=（a+1）（a4），符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意故选C【点评】本题考查了因式分解的意义这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确12下列因式分解错误的是（）Ax2y2=（x+y）（xy）Bx2+y2=（x+y）2Cx2+xy=x（x+y）Dx2+6x+9=（x+3）2【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式和提取公因式法分别分解因式进而判断即可【解答】解：A、x2y2=（x+y）（xy），正确，不合题意；B、x2+y2，无法分解因式，故此选项正确；C、x2+xy=x（x+y），正确，不合题意；D、x2+6x+9=（x+3）2，正确，不合题意；故选：B【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键13下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）x210x+25；4a2+4a1；x22x1；A1个B2个C3个D4个【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可【解答】解：x210x+25=（x5）2，不符合题意；4a2+4a1不能用完全平方公式分解；x22x1不能用完全平方公式分解；=（m2m+）=（m）2，不符合题意；不能用完全平方公式分解故选：C【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键14已知a，b，c为ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a4b4，判断ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断ABC的形状【解答】解：由a2c2b2c2=a4b4，得a4+b2c2a2c2b4=（a4b4）+（b2c2a2c2）=（a2+b2）（a2b2）c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2c2）=（a+b）（ab）（a2+b2c2）=0，a+b0，ab=0或a2+b2c2=0，即a=b或a2+b2=c2，则ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可1510名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+x102，N=y12+y22+y102，则（）AMNBMNCM=NDM、N的大小关系不确定【分析】根据题意，对M和N作差，然后与零比较大小即可解答本题【解答】解：由题意可得，xn+yn=9，yn=（9xn），MN=x12+x22+x102（y12+y22+y102）=x12+x22+x102，=810+18（x1+x2+x10），10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，x1+x2+x10=45，810+18（x1+x2+x10）=810+1845=810+810=0，M=N，故选C【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件二填空题16分解因式：a34a2b+4ab2=a（a2b）2【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解【解答】解：原式=a（a24ab+4b2）=a（a2b）2故答案是：a（a2b）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止17（2016黔南州）若ab=2，ab=1，则代数式a2bab2的值等于2【分析】首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可【解答】解：ab=2，ab=1，a2bab2=ab（ab）=2（1）=2故答案为：2【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键18（2016南京）分解因式：2a（b+c）3（b+c）=（b+c）（2a3）【分析】直接提取公因式b+c即可【解答】解：原式=（b+c）（2a3），故答案为：（b+c）（2a3）【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式19（2016赤峰）分解因式：4x24xy+y2=（2xy）2【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：4x24xy+y2，=（2x）222xy+y2，=（2xy）2【点评】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键20（2016荆门）分解因式：（m+1）（m9）+8m=（m+3）（m3）【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可【解答】解：（m+1）（m9）+8m，=m29m+m9+8m，=m29，=（m+3）（m3）故答案为：（m+3）（m3）【点评】本题考查了利用公式法分解因式，先利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键21（2016威海）分解因式：（2a+b）2（a+2b）2=3（a+b）（ab）【分析】原式利用平方差公式分解即可【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+ba2b）=3（a+b）（ab）故答案为：3（a+b）（ab）【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键22（2016贺州）将m3（x2）+m（2x）分解因式的结果是m（x2）（m1）（m+1）【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可【解答】解：原式=m（x2）（m21）=m（x2）（m1）（m+1）故答案为：m（x2）（m1）（m+1）【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键三解答题23分解因式（1）x36x2+9x；（2）a2（xy）+4（yx）【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可【解答】解：（1）原式=x（x26x+9）=x（x3）2；（2）原式=a2（xy）4（xy）=（xy）（a24）=（xy）（a+2）（a2）【点评】此题考查了因式分解分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键24阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式分析：这个式子的常数项2=12，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+12解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x18=（x2）（x+9）启发应用（2）利用因式分解法解方程：x26x+8=0；（3）填空：若x2+px8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是7或7或2或2【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）找出所求满足题意p的值即可【解答】解：（1）原式=（x2）（x+9）；（2）方程分解得：（x2）（x4）=0，可得x2=0或x4=0，解得：x=2或x=4；（3）8=18；8=81；8=24；8=42，则p的可能值为1+8=7；8+1=7；2+4=2；4+2=2故答案为：（1）（x2）（x+9）；（3）7或7或2或2【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键25 “十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1c2，并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x22xy8y2解：如图1，其中1=11，8=（4）2，而2=12+1（4）x22xy8y2=（x4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=11，3=（1）3，2=12；而2=13+1（1），1=（1）2+31，3=12+11；x2+2xy3y2+3x+y+2=（xy+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x217xy+12y2=（3x4y）（2x3y）2x2xy6y2+2x+17y12=（x2y+3）（2x+3y4）x2xy6y2+2x6y=（x3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积，求m的值【分析】（1）直接用十字相乘法分解因式；把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；同的方法分解；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值【解答】解：（1）6x217xy+12y2=（3x4y）（2x3y），2x2xy6y2+2x+17y12=（x2y+3）（2x+3y4），x2xy6y2+2x6y=（x3y）（x+2y+2），故答案为：（3x4y）（2x3y），（x2y+3）（2x+3y4），（x3y）（x+2y+2），（2）如图，m=39+（8）（2）=43或m=9（8）+3（2）=78【点评】此题是因式分解十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解26通过对因式分解的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形【分析】根据题意可知：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），可以看作长为a+2b，宽为a+b的长方形面积，由此画出图形【解答】解：如图所示：大长方形的面积=a2+3ab+2b2，大长方形的面积=（a+b）（a+2b），a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）【点评】此题主要考查因式分解的运用，注意利用已知的等式转化为图形解决问题，这是数形结合思想的运用27把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”例如：3232+22=1312+32=1012+02=1，7072+02=4942+92=9792+72=13012+32+02=1012+02=1，所以32和70都是“快乐数”（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”【分析】（1）根据“快乐数”的定义计算即可；（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，根据“快乐数”的定义计算【解答】解：（1）12+02=1，最小的两位“快乐数”10，1912+92=8282+22=6862+82=10012+02+02=1，19是快乐数；证明：43758=688912530981656137，37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，则a2+b2+c2=10或100，a、b、c为整数，且a0，当a2+b2+c2=10时，12+32+02=10，当a=1，b=3或0，c=0或3时，三位“快乐数”为130，103，当a=2时，无解；当a=3，b=1或0，c=0或1时，三位“快乐数”为310，301，同理当a2+b2+c2=100时，62+82+02=100，所以三位“快乐数”有680，608，806，860综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个，又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件【点评】本题考查的是因式分解的定义、“快乐数”的定义，正确理解“快乐数”的定义、掌握分情况讨论思想是解题的关键28能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得153，经过2016次“F”运算得153（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；（2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除【解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得 153，经过2016次“F”运算得 153（2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数），这个四位数可以写为：100