中考数学 第一部分 中考基础复习 第五章 图形与变换 第3讲 解直角三角形复习课件

第3讲 解直角三角形 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA， cosA，tanA)知道 30，45，60角的三角函数值. 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三 角函数值求它对应的锐角. 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一 些实际问题. 知识点内容 锐角三角函数的概 念(注：在ABC 中， C90，设A， B，C 的对应边 分别为 a，b，c.) 正弦 余弦 正切 特殊角的三 角函数值 角304560 sin A cos A tan A1 知识点内容 解直角三角形 及其应用 解直角三角 形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元 素，即三条边和两个锐角，由直角三角形 中 除直角外的已知元素求出所有未知元素的 过程叫做解直角三角形 解直角三角 形的理论依 据 (续表) (续表) 知识点内容 解直角三角形 及其应用 仰角、俯角、 坡度、坡角和 方向角 (1)仰角：视线 在水平线上方的角叫做仰角. 俯角：视线 在水平线下方的角叫做俯角. (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比 叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用 表示，则有itan . (3)方向角：平面上，通过观 察点作一条 水平线(向右为东 向)和一条铅垂线(向上为 北向)，则从点O出发的视线 与水平线或铅 垂线所夹的角，叫做观测 的方向角 知识点内容 解直角三角形 及其应用 解直角三角 形实际应 用 的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语 ，根据题意画出图 形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它 们之间的关系，把实际问 题转 化为解直角 三 角形问题 ； (3)选择 合适的边角关系式，使运算简便、 准确； (4)得出数学问题 的答案并检验 答案是否符 合实际 意义，从而得到问题 的解 (续表) 锐角三角函数的概念及求值 例1：如图531 ，已知ABC的三个顶点均在格点上，则 cos A 的值为() 图 531 答案：D 易错陷阱根据三角函数的定义求三角函数值时，一定要在 直角三角形内求解，可利用辅助线构造直角三角形，也可利用 几何图形的性质将该角转移到直角三角形中. 【试题精选】 1.(2016 年黑龙江绥化)如图 532，小雅 家( 图中点 O 处) 门前有一条东西走向的公 路，经测得有一水塔(图中点 A 处)在距她家 北偏东 60方向的 500 米处，那么水塔所在 的位置到公路的距离 AB 是()图 532 答案：A AC6 cm，则 BC 的长度为() A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm 答案：C 名师点评求解锐角三角函数通常蕴含一定的图形背景(网 格、平行线、三角形、圆等)，通过相关角、线段的转化或构建 特殊的直角三角形进行求解. 特殊角的三角函数值的计算 3.(2016 年天津)sin 60的值等于() 答案：C 4.计算：cos245sin245( ) 答案：B 名师点评在锐角的条件下，特殊角的三角函数值可以正、 反联用.关键是要理解三角函数的概念要领和熟记特殊角(30， 45，60)的三角函数值. 解直角三角形及其应用 例 2：(2016 年重庆)如图 533，某办公大楼正前方有一根 高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端 E 的俯 角是 45，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i 图 533 A.30.6 C.37.9 B.32.1 D.39.4 解析：延长AB交DC于点H，作EGAB于点G，如图534. 则GHDE15 米，EGDH. 图 534 45， EAG904545. AEG 是等腰直角三角形. 答案：D 名师点评本题考查了解直角三角形的应用坡度、俯角问 题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG 是解决问题 的关键. 【试题精选】 6.(2016 年山东泰安)如图 535，轮船沿正南方向以 30 海里 /时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南 68方向上， 航行 2 小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在西偏南 46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位 置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器 得到 sin 680.9272，sin 460.7193，sin 22 0.3746，sin 440.6947)()图 535 B.41.68 海里C.43.16 海里 D.55.63 海里A.22.48 海里 答案：B 7.(2016 年湖南长沙)如图 536，热气球的探测器显示，从 热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60，热气球 A 处与楼的水平距离为 120 m，则这栋 楼的高度为() 图 536 答案：A 8.(2016 年重庆)某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高 度的综合实践活动，如图 537，在点 A 处测得直立于地面的大 树顶端 C 的仰角为 36，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走13 m 至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 m 至大树脚底点 D 处， 斜面 AB 的坡度(或坡比)i12.4，那么大树 CD 的高度约为(参 )考数据：sin 360.59，cos 360.81，tan 360.73)( 图 537 A.8.1 mB.17.2 m C.19.7 mD.25.5 m 图 D77 答案：A 解析：作BFAE于点F，如图D77.则FEBD6 m，DE BF，斜面AB的坡度i12.4，AF2.4BF，设BFx m，则AF2.4x m，在RtABF中，由勾股定理，得x2 (2.4x)2132.解得x5.DEBF5 m，AF12 m.AEAF FE18 m.在RtACE中，CEAEtan36180.7313.14 m，CDCEDE13.14 m5 m8.1 m.故选A. 9.(2016 年广西南宁)如图 538，厂房屋顶人字形(等腰三角 形)钢架的跨度 BC10 m，B36，则中柱 AD(D 为底边中 点)的长是() 图 538 A.5sin 36 m C.5tan 36 m B.5cos 36 m D.10tan 36 m 答案：C 名师点评在实际工程、测量等问题中，关键是将实际问题 转化为数学模型，往往把计算角度、线段的长、图形的面积等 问题转化为解直角三角形中边与角的问题，利用三角函数的知 识解决问题.而在解直角三角形的情境应用中，需要发挥条件中 的角度、平行、垂直等信息的作用，有时需要像上面这样构造 新的直角三角形才能求出问题的解. 1.(2016 年广东)如图 539，在平面直角坐标系中，点 A 坐 标为(4,3)，那么 cos 的值是() 图 539 答案：D 2.(2013年广东)在RtABC中，ABC90，AB3， BC 4，则 sin A_. 3.(2014 年广东)如图 5310，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30，然后 沿AD 方向前行 10 m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角为 60(A，B，D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这 图 5310 解：CBDAACB， ACBCBDA603030. AACB.BCAB10 m. 在 RtBCD 中， 答：这棵树 CD 的高度为 8.7 m. 4.(2012 年广东)如图5311，小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tan 求小山岗的高 AB.(结果取整数.参考数据：sin 26.60.45， cos 26.60.89，tan 26.60.50) 图