高中数学 第三章 数系的扩充与复数本章整合 新人教b版选修

高中数学 第三章 数系的扩充与复数本章整合 新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一复数的概念及几何意义复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设zxyi(x，yR)，依据是“两个复数相等的充要条件”此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解复数的几何意义实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想来解决复数问题【例1】 设复数z(1i)m2(24i)m33i.试求当实数m取何值时：(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点在直线xy0上；(4)|z|0；(5)3i.解：z(1i)m2(24i)m33i(m22m3)(m24m3)i.因为z是实数，所以m24m30，解得m1或m3.因为z是纯虚数，所以解得m1；由于z对应的点在直线xy0上，所以(m22m3)(m24m3)0，解得m0或m3.因为|z|0，所以z0，因此解得m3.因为3i，所以z3i，因此解得m2.【例2】 若ABC中，A，B两顶点对应的复数分别为1i与 3i，且ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，求C点对应的复数解：设C点对应的复数为zxyi(x，yR)由于ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以|，因此有解得或即C点对应的复数是1i或3i.专题二复数的运算历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解要熟练掌握除法运算的“分母实数化”法则，将除法运算转化为乘法运算进行【例3】 计算：(1)；(2)2 014.解：(1)21i.(2)2 014iii0.【例4】 已知复数z1，z2a3i(aR)(1)若a2，求z1；(2)若z是纯虚数，求a的值解：由于z113i.(1)当a2时，z223i，z1(13i)(23i)23i6i9113i.(2)若z为纯虚数，则应满足解得a9.即a的值为9.专题三转化与化归思想在解决有关复数的问题中代入法、转化与化归思想就是将复数问题化归为实数问题，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程；反过来，有时将实数、几何问题、三角问题化归为复数问题，也可使问题迎刃而解【例5】 已知|z4|4且zR，则复数z_.解析：设zabi(a，bR)，则由已知，得解得或或或因此z0(舍去)或z8或z22i.答案：8或22i【例6】 设关于x的方程x2(tan i)x(2i)0.(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；(2)证明：对任意的2k(kZ)，方程无纯虚数根解：(1)设实数根是a，则a2(tan i)a(2i)0，即a2atan 2(a1)i0.a，tan R，a2atan 20且a10，a1且tan 1，又，.(2)设方程存在纯虚数根为bi(bR，b0)，则(bi)2(tan i)bi(2i)0，即此方程组无实数解，对任意的2k(kZ)，方程无纯虚数根专题四数形结合思想(1)复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义，复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题；(2)任何一个复数zabi与复平面内的一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|，|za|的几何意义距离；(3)复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则由减法的几何意义知|zz1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离(复数z，z1对应的点分别为Z，Z1)；(4)复数形式的基本轨迹：|zz1|r表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆，单位圆|z|1；|zz1|zz2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线【例7】 若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值是()A2 B3 C4 D5解析：法一：由|z22i|1，复数z对应的点在以(2,2)为圆心，半径为1的圆上|z22i|z(22i)|表示圆上点Z到A(2,2)距离的最小值，易知选B.法二：设zxyi，由|z22i|x2(y2)i|1，(x2)2(y2)21.又|z22i|x2(y2)i|.又3x1，当x1时，|z22i|min3.法三：应用公式|z1|z2|z1z2|，|z22i|(z22i)4|z22i|4|3，即|z22i|的最小值为3.答案：B【例8】 复数z且|z|4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值解：z(a