高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_7 抛物线课件 文 新人教版

9.7 抛物线 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 知识梳理 焦点 相等 准线 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点O(0,0) 对称轴y0x0 焦点FFFF 离心率e1 准线方程xxyy 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 开口方向向右向左向上向下 1.抛物线y22px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|x0 ，也称为抛物线的焦半径. 2.y2ax的焦点坐标为 ，准线方程为x . 3.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2 ，y1y2p2. (2)弦长|AB|x1x2p (为弦AB的倾斜角). (3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 知识拓展 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛 物线.( ) (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐 标是( ，0)，准线方程是x .( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F( ，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，则x1x2 ，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.( ) 思考辨析 考点自测 A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 答案 解析 1.(2016四川)抛物线y24x的焦点坐标是 对于抛物线y2ax，其焦点坐标为 ， 对于y24x，焦点坐标为(1,0). A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2017济宁月考)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点 ，|AF| x0，则x0等于 答案 解析 3.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有 公共点，则直线l的斜率的取值范围是 Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理 得k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k1. 答案 解析 A. B.2,2 C.1,1 D.4,4 几何画板展示 4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_. 设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0).将P(2，4)代入， 分别得方程为y28x或x2y. 答案 解析 y28x或x2y 5.(2017合肥调研)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70 相切，则p的值为_. 2 答案 解析 抛物线y22px(p0)的准线为x ， 圆x2y26x70，即(x3)2y216， 则圆心为(3,0)，半径为4. 又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切， 所以3 4， 解得p2. 题型分类 深度剖析 题型一 抛物线的定义及应用 例1 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小 值为_. 答案 解析4 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1， 则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4. 即|PB|PF|的最小值为4. 几何画板展示 引申探究 1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值. 解答 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. |PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， 几何画板展示 2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为 xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距 离为d2，求d1d2的最小值. 解答 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0). 点P到y轴的距离d1|PF|1， 所以d1d2d2|PF|1. 易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离， 所以d1d2的最小值为3 1. 几何画板展示 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛 物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 .“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关 问题的重要途径. 思维升华 跟踪训练1 设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距 离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_. 答案 解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1， 由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P 到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P， 使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 . 几何画板展示 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程 例2 已知双曲线C1： (a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2： x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方 程为 C.x28y D.x216y 答案解析 命题点2 抛物线的几何性质 例3 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2 ； 证明 由已知得抛物线焦点坐标为( ，0). 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2. 证明 证明 (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线， 垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N， 则|MN| (|AC|BD|) (|AF|BF|) |AB|. 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位 置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有 一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象 、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 思维升华 跟踪训练2 (1)(2016全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A， B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4 ，|DE|2 ，则C的焦 点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8 答案 解析 不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2 y2r2(r0)，如图，又可设A(x0,2 )，D ， 点A(x0,2 )在抛物线y22px上，82px0， 点A(x0,2 )在圆x2y2r2上，x8r2， 点D 在圆x2y2r2上，5 2r2， 联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为 p4，故选B. (2)若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q， 若O为坐标原点，则SOPQ_. 答案 解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0). 又|PF|3，由抛物线定义知：点P到准线x1的距离为3， 点P的横坐标为2.将x2代入y24x，得y28， 得2x25x20， 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题 例4 已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直 线与C交于A、B两点.若 0，则k_. 答案 解析 2 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立 ，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2). 则x1x24 ，x1x24. 所以y1y2k(x1x2)4k ， y1y2k2x1x22(x1x2)416. 因为 (x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y2 2)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80， 将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题 例5 (2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的 两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ； 证明 几何画板展示 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. 由于F在线段AB上，故1ab0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2， 所以ARFQ. (2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程 . 解答 几何画板展示 设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)， 所以x11，x10(舍去). 设满足条件的AB的中点为E(x，y). 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y2x1(x1). (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似， 一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若 过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必 须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数 的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 思维升华 跟踪训练3 (2016天津模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点 M(4,0). 由已知，得x4不合题意， 设直线l的方程为yk(x4)， 由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)， 解答 (2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分 线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值. 证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为AB不垂直于x轴， 即线段AB中点的横坐标为定值2. 典例 (12分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy2 0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物 线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标； 答案模板系列6 (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在 ，求出m的值；若不存在，请说明理由. 答题模板思维点拨 直线与圆锥曲线问题的求解策略 规范解答 解 (1)抛物线C：x2 y，它的焦点F(0， ). 2分 消去y得mx22x20， 依题意，有(2)24m(2)0m . 6分 (2) 得 ， ， ， 若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则 0 ， 返回 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或 y1y2，y1y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况. 返回 课时作业 1.(2017太原月考)若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于 12345678910 11 12 13 答案 解析 2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、 B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 12345678910 11 12 13 答案 解析 A.x1 B.x1 C.x2 D.x2 12345678910 11 12 13 y22px(p0)的焦点坐标为( ，0)， 过焦点且斜率为1的直线方程为yx ， 即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y22p， p2， 抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1. 3.(2016绵阳模拟)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物 线y24x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为 12345678910 11 12 13 答案 解析 12345678910 11 12 13 直线l2：x1是抛物线y24x的准线， 抛物线y24x的焦点为F(1,0)， 则点P到直线l2：x1的距离等于|PF|， 过点F作直线l1：4x3y60的垂线， 和抛物线的交点就是点P， 所以点P到直线l1：4x3y60的距离和直线l2：x1的距离之和的 最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离， 4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 的值一定等于 A.4 B.4 C.p2 D.p2 12345678910 11 12 13 答案 解析 12345678910 11 12 13 若焦点弦ABx轴， 则x1x2 ，x1x2 ； y1p，y2p，y1y2p2， 4. 若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为yk(x )， 联立y22px，得k2x2(k2p2p)x 0， 12345678910 11 12 13 答案 解析 12345678910 11 12 13 设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(2，y3)， 3，故选D. *6.(2016济南模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于 A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为 答案 解析 12345678910 11 12 13 12345678910 11 12 13 抛物线C的准线为l：x2， 直线yk(x2)恒过定点P(2，0)， 如图，过A，B分别作AMl于M， BNl于N，由|FA|2|FB|，得|AM|2|BN|， 从而点B为AP的中点，连接OB， 7.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B 两点，则|AB|_. 12345678910 11 12 13 答案 解析12 方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 12345678910 11 12 13 8.已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为 的直线与 l相交于点A，与C的一个交点为B，若 ，则p_. 12345678910 11 12 13 2 如图，由AB的斜率为 ， 知60，又 ， M为AB的中点. 过点B作BP垂直准线l于点P， 则ABP60，BAP30， |BP| |AB|BM|. M为焦点，即 1，p2. 答案 解析 9.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线C： y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_. 12345678910 11 12