高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法与分析法教学案 北师大版选修2-2

2 综合法与分析法 综合法阅读下面的例题例：若实数a，b满足ab2，证明：2a2b4.证明：因为ab2，所以2a2b2224，故2a2b4成立问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：其中P为条件，Q为结论.分析法你们看过侦探小说福尔摩斯探案集吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据问题1：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件问题3：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？提示：可以分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等这种证明问题的思维方法称为分析法(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：得到一个明显成立的条件1综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件它的证明格式为：因为，所以，所以所以成立2分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件它的证明格式：要证，只需证，只需证因为成立，所以成立 综合法的应用例1已知a，b是正数，且ab1，求证：4.思路点拨由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论精解详析法一：a，b为正数，且ab1，ab2，4.法二：a，b为正数，ab20，20，(ab)4，又ab1，4.法三：a，b为正数，1122 4，当且仅当ab时，取“”号一点通从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找每一步的必要条件，如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键1在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，试证明A，B，C成等差数列证明：，3，1，c(bc)a(ab)(ab)(bc)，b2a2c2ac.在ABC中，由余弦定理，得cos B，0B2f(b)证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以ac2.因为b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2.因为f(x)log2(x2)是增函数，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b).分析法的应用例2当ab0时，求证： (ab)思路点拨条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式精解详析要证 (ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.因为a2b22ab对一切实数恒成立，所以(ab)成立一点通分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件它是从求证的结论出发，逆着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证，只需证”3求证：.证明：欲证不等式成立，只需证326425成立，即证成立，即证1820成立由于1820成立，故lg alg blg c.证明：要证lg lg lg lg alg blg c，只需证lglg(abc)，只需证abc.由于0，0，0，且上述三式中的等号不全成立，所以abc.因此lg lg lg lg alg blg c.综合法和分析法的应用例3已知0a1,0b1,00，b0，c0.要证1，只需证1abbccaabcabc，即证1abbcca(abcabc)0.1abbcca(abcabc)(1a)b(a1)c(a1)bc(1a)(1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c)，又a1，b1，c1，(1a)(1b)(1c)0，1abbcca(abcabc)0成立，即1.一点通综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证5已知a，b，c(0，)，且abc1，求证：8.证明：8，当且仅当abc时取等号，不等式成立6设x，y为正实数，且xy1，求证：9.证明：法一：(综合法)左边421549.法二：(分析法)要证9成立，x0，y0且xy1，y1x0，只需证明9，即证(1x)(1x1)9x(1x)，即证2xx29x9x2，即证4x24x10，即证(2x1)20，此式显然成立，所以原不等式成立分析法与综合法的优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程 1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的说法有()A2个B3个C4个 D.5个解析：由分析法、综合法的定义知正确. 答案：C2已知a0，b0，且ab2，则()Aa BabCa2b22 D.a2b23解析：ab22，ab1.a2b242ab，a2b22.答案：C3用分析法证明命题“已知ab1.求证：a2b22a4b30.”最后要具备的等式为()Aab Bab1Cab3 D.ab1解析：要证a2b22a4b30，即证a22a1b24b4，即(a1)2(b2)2，即证|a1|b2|，即证a1b2或a1b2，故ab1或ab3，而ab1为已知条件，也是使等式成立的充分条件答案：D4已知a，b为正实数，函数f(x)x，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA D.CBA解析：因为函数f(x)x为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较，的大小，因为，两边同乘得：ab，即，故，ABC.答案：A5设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：abc0，ab0，c(ab)|c|2(ab)21b2.由(ab)c0，(ab)(ab)|a|2|b|20.|a|2|b|21.|a|2|b|2|c|24.答案：46若P，Q，a0，则P，Q的大小关系是_解析：P22a72，Q22a72.又a(a7)a27a(a3)(a4)a27a12.P2Q2，即PQ.答案：PQ7阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，由得sin()sin()2sin cos ，令A，B，有，代入得sin Asin B2sin cos .类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos Acos B2sin sin .证明：cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，得cos()cos()2sin sin .令A，B，有，代入得cos Acos B2sin sin .8在ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明：由A，B，C成等差数列，有2BAC.因为A，B，C为ABC的内角，所以ABC，由得，B，由a，