动力学-机械振动基础.ppt

1 目 录 15.1 功和功率 15.2 动能定理 15.3 势力场势能机械能守恒 15.4 动力学普遍定理的综合应用 2 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。 3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。 2. 振动的利弊： 引 言 3 4. 振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动 本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。 4 16.1 单自由度系统的自由振动 一、自由振动的概念 5 6 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡 位置附近的振动称为无阻尼自由振动。 质量弹簧系统： 单摆： 复摆： 7 二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是： a、c是与系统的物理参数有关的常数。令 则自由振动的微分方程的标准形式： 解得： 8 设 t = 0 时， 则可求得： 或： C1、C2由初始条件决定为 9 三、自由振动的特点 A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1/T 。 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。 10 无阻尼自由振动的特点是： (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (1) 振动规律为简谐振动； (3) 周期T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。 四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。 11 2. 弹簧并联系 统和弹簧串联系 统的等效刚度 并联 串联 并 联 串 联 12 1. 由系统的振动微分方程的标准形式 2. 静变形法： 3. 能量法： 16.2 求系统固有频率的方法 ：集中质量在全部重力 作用下的静变形。 由Tmax=Umax , 求出 13 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达 到最大值。 如： 14 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。 例1 图示系统。设轮子无侧向摆动 ，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和 弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R， 质量为M，重物质量 m ，试列出系统微 幅振动微分方程，求出其固有频率。 15 解：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点） 则任意位置x 时： 静平衡时： 16 应用动量矩定理： 由 ， 有 振动微分方程： 固有频率： 17 解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点） 以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x 因平衡时 18 由 T+U= 有： 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得 19 例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑 ，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m, 不 计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率 。 解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置 x 为 广义坐标。系统的最大动能为： 20 系统的最大势能为： 21 设 则有 根据Tmax=Umax ，解得 22 16.2 单自由度系统的有阻尼自由振动 一、阻尼的概念 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘 性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称 为粘性阻尼。 投影式： c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。 23 二、有阻尼自由振动微分方程及其解 质量弹簧系统存在粘性阻尼： 有阻尼自由振动微分方程的标准形式。 24 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形 有阻尼自由振动的圆频率 25 衰减振动的特点： (1) 振动周期变大， 频率减小。 阻尼比 有阻尼自由振动 ： 当 时， 可以认为 26 (2) 振幅按几何级数衰减 对数减缩率 2、临界阻尼情形 临界阻尼系数 ) , , (at 00 xxxx&=t 0= 相邻两次振幅之比 27 可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置， 不再具备振动的特性。 代入初始条件 3、过阻尼（大阻尼）情形 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0， 不具备振动特性。 28 例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm ， A1=0.8cm ，A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。 解 ： 由于 很小， 29 16.3 单自由度系统的受迫振动 一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力： H力幅； 激振力的圆频率 ； 激振力的初相位 。 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。 二、无阻尼强迫振动微分方程及其解 30 为对应齐次方程的通解 为特解 全解为 ： 稳态强迫振动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 三、稳态强迫振动的主要特性 1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。 2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。 31 (1) =0时 (2) 时，振幅b随 增大而增大；当 时， (3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 。 b 随 增大而减小； 振幅比或称动力系数 频率比 曲线 幅频响应曲线 （幅频特性曲线）1 32 4、共振现象 ，这种现象称为共振。 此时， 33 16.4 隔 振 一、转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是 由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。 单圆盘转子： 圆盘：质量m , 质心C点；转轴过盘的几 何中心A点，AC= e ，盘和轴共同以匀角速 度 转动。 当 n（ n为圆盘转轴所组 成的系统横向振动的固有频率）时， 34 （k为转轴相当刚度系数 ） 临界角速度 ： 临界转速： 35 质心C位于O、A之间 OC= x- e 当转速 非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近 ，圆盘接近于绕质心C旋转，于是转动平稳。 为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。 36 二、减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围 的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设 计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。 许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以