材料力学(刘鸿文)第十四章超静定结构.ppt

. 141 超静定结构概述概述 142 变形比较法 第十四章：超静定结构 143 力法正则方程 144 对称与反对称性质的利用 141 超静定结构概述 1 静定结构或系统 无多余约束的几何不变的承载系统; 其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。 P P 未知力的数目多于该系统能列出的独立平衡方程的数目； 2 超静定结构 仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力。 未知力的数目与独立平衡方程数目之差。 3 超静定次数 P P 4 多余约束 静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束； 与多余约束相对应的反力； 5 多余约束反力 、提高构件的强度和刚度。 6 超静定系统的特点： P P 、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。 、可以产生装配应力和温度应力。 7 超静定问题分类 结构外部和内部均存在多余约束，即支反 力和内力是超 静定的。 在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的; 仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的; 第一类： 外力超静定系统。 第二类： 内力超静定系统。 第三类： 混合超静定系统； 判断下列结构属于哪类超静定 外力超静定 内力超静定 混合超静定 外力超静定 内力超静定 混合超静定 判断下列结构属于哪类超静定 静定结构，称为三铰拱。 外力静不定，且为一次静不定 R A B C P P P AB C D E 判断下列结构属于哪类超静定 静定结构。 内力超静定，一次超静定 判断下列结构属于哪类超静定 P P A B A B C D P 8、基本静定基 解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构； 静定基可根据需要方便选取，同一超静定结构可有不同选择。 可取尾顶针处为多余约束，得到静定基； 也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。 9 相当系统 在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。 P P P R M 10 超静定问题的分析方法 以未知位移为基本未知量。 2.力法： 以未知力为基本未知量。 1.位移法： 列出用位移表示的力的平衡方程 变形比较法 力法正则方程 三弯矩方程 142 变形比较法 原理： 比较原结构与其相当系统在多余约束处的变形， 相当系统应满足原结构的位移边界条件。 变形协调关系。 4. 利用莫尔积分 如何用变形比较法求解超静定问题？ 1. 判定超静定次数 2. 释放多余约束, 构造相当系统 3. 列写变形协调方程 变形协调关系 未知力的方程 解除 多余约束 1 结构静定化相当系统 （以方便为准） 超静定结构的求解思想 ： 建立 2 在未知力处 变形协调条件 莫尔积分 3 变形条件关于力的补充方程 例1：如图超静定梁，梁的抗弯刚度为EI，跨度为L， 受力如图，求B处的支反力。 A B q 1、确定静不定次数； 2、确定多余约束； q AB 4、列出变形协调条件。 3、去掉多余约束，得到相当系统 5、莫尔积分计算多余约束处的相应位移； RB 5、用能量法计算梁的弯曲变形。 莫尔积分法 单位力作用下弯矩方程为： 梁的弯矩方程： 在B处加一单位力 1.0 q RB x 进行莫尔积分 6、回代到协调方程中去，求解。 A D BC E F 例2、图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为 CD杆的长 BE=2AD=2米，由钢杆CD连接。 试求悬臂梁AD在D点的挠度。 横截面面积 （1）、判定超静定次数 以CD杆的轴力为多余约束力； A D FN BC E FFN FN FN A D BC E F 一次内力超静定问题。 （2）、确定多余约束 ，得到相当系统。（3）、去掉多余约束代之以反力 （4）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为 （5）、用能量法求 F FN x x A D BC E F 1.0 x 单位力作用下的内力方程： 积分得到： A D BC E F （6）、回代到协调方程中，得到： 求解得到： 故： （4）、变形协调方程; （5）、利用能量法求多余约束处的位移或转角; 变形比较法计算超静定的步骤 （1）、判定超静定次数; （2）、确定多余约束； （3）、去掉多余约束代之以反力，得到相当系统; 此时多余约束反力作常量处理; 一般情况下，多余约束反力为力的用能量法求线位移； 多余约束反力为力偶的求角位移。 即：将多余约束处的 表示为多余约束反力的函数 （6）、回代到协调方程中，求解多余约束反力。 一旦多余约束得到，系统称为静定， 用能量法求挠度 用能量法求转角 可进行强度、刚度等方面的计算。 1、“所有支座反力均可由静力平衡方程确定的结构 均为静定结构。” 2、“用能量法求解超静定问题时，只需考虑变形 几何条件。” 讨论 1直梁的静不定 1、 EI已知，求轴承反力 P LLL 2、三支座的等截面轴由于制造误差，轴承有 高低，使C支座偏离轴线。梁的抗弯刚度 为EI，求梁内的最大弯矩。 L L C 3、两个横梁的抗弯刚度均为EI24106N2，拉 杆的横截面面积为A3104。横梁与拉杆采 用同种材料E200GP。P50KN，L=2m,求 D点的铅垂挠度。 L L L 2.5L D BC P 4、两个简支梁的长均为2L，抗弯刚度相等同为 EI。在梁的中点用一抗拉压刚度为EA拉杆连 接。求下面梁的中点的挠度。 LL LL EA q 5、求拉杆BC内的应力。 EA L EI a P B C 6、直梁的抗弯刚度为EI，梁长为2，梁的右端 用一刚度K=3EI/a3的弹簧支撑。求弹簧的变 形。 aa q 7、悬臂梁的抗弯刚度为EI，长为2，用二根长均为 的拉杆BC、CD支撑。已知拉杆的抗拉压刚度相 等同为EA。求C点的铅垂挠度。 2a a a B C D 8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。 L/2 L/2 L L P 9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。 EI1 EI2 L1 L2 P 10、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直 角拐的抗扭刚度GI4 EI /5，拉杆CD 的抗拉压 刚度相等EA2EI/(5L2)，其中EI为直角拐的抗弯 刚度。求CD杆的内力。 A B C D 2L L P L H 11、直角拐的抗拉压刚度相等为EI，拉杆DG 的横截面面积为A，且IA。求C截面 处的弯矩。 2a a a a q D G C 12、求图示中二个悬臂梁的最大弯矩。 EI, a EI, a EA, a P 13、图示结构由梁AB与杆CD组成，AC=CB，材 料相同。梁截面的惯性矩为I，拉杆的横截面的面 积为A。求拉杆CD 的轴力。 q A B C D 14、AB、CD两梁的长度相等均为L，并有相同的 抗弯刚度EI。两梁水平放置、垂直相交。CD为简 支梁，AB的A端固定，B端自由。加载前两梁在中 点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作 用力方向的位移。 P A B C D 15 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由 铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的 长度做短了=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面 积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求 装配后两杆的应力。 16 两端固定的阶梯装杆如图所示。已知AC段和BD 段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；该 杆材料的弹性模量为E=210GPa，线膨胀系数 。试求当温度升高30后，该杆各部分产生的应力 。 17 两根长度各为L1和L2的梁交叉放置如图所示 ，在两梁交叉点处作用有集中荷载P。两梁横截 面的惯性矩分别为I1及I2，梁的材料相同。试问 在两梁间荷载是怎样分配的。 二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量） 1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形 不计。求CD杆的受力。 a C 2a P D 2、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的 2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。 a P a C K 3、求B处支反力 P a a B 4、求B支反力 2a 2a M=Pa P B q M=2qa2 2a a 2a B a 5、求B支反力 6、作刚架的弯矩图 2qa2 q 2a 2a B 2a a a q 8、作刚架的弯矩图 10、求C截面的挠度 2a aa a a P P C 11、C支座抬高qa4/3EI，作刚架的弯矩图 a a q C 12、求C截面的转角 M=2qa2 2a a C 13、直角拐在支座A处有一沉陷，求在载荷的作用 下，A处的约束反力。设GIP4EI/5,=qL4/6EI L q L A B C 14、直角拐的抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉压刚 度相等为EA，各段的长度均为L，且IAL2，求 CD杆的内力并作刚架的弯矩图。 P L L C D 1、求C截面的铅垂位移 a a a q C 三、二次超静定问题（刚架抗弯刚度EI为常量） 2、作刚架的弯矩图 2a 2a aa P=qa q 3、作刚架的弯矩图 2a 2a a a P 4m 4m q=4KN/m B C 4、作刚架的弯矩图 四、静不定综合 1、两根长为L2米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝 相连。左边梁的抗弯刚度为EI150KNm2，右边梁的抗弯刚度 为EI2150KNm2。金属丝的横截面面积为65毫米2，E70GPa ，求在两梁的跨中施加两个2KN的力后，金属丝内的应力。 2KN 2KN 0.5m 2、GH平行于EF，并且GH、EF垂直于圆轴的轴线。 圆轴、GH、EF处于水平。已知：圆轴的直径为D1 100毫米，GH、EF的直径为D220毫米，材料 相同。G0.4E，M7KN。求轴内的最大剪应 力。 1m 1m 2m 2m M G H E F 3、直角拐ABC的直径为D20毫米，CD杆的横截面 面积为A6.52，二者采用同种材料制成。弹性 模量E200GP，剪变模量G80 GP。CD杆 的线胀系数=12.510-6，温度下降50。求出直角 拐的危险点的应力状态。 0.6m AB C D 0.3m 4、图示中梁为工字型截面，梁的跨度为L4米， 力P40KN作用在梁的中央。对本身形心轴的惯性 矩为IZ18.5106mm4，求该梁的最大剪力和弯矩， 并求C截面的挠度。 P 90 C 5、图示中的钢制直角曲拐ABC的截面为圆型，直径为d100 毫米，位于水平面内，A端固定，C处铰接钢制直杆CD。已知 CD杆的横截面面积为A40毫米2，钢材的弹性模量为E 200GPa，剪变模量为G80GPa，线胀系数12.510 6(1/oC)。试用能量法求在K截面处作用有扭转力偶M5KNm ，且CD的温度下降40 oC，CD杆的内力。AK=KB=BC=0.5m ，CD=0.3m A K B C D M 6、图示中的悬臂梁AB1与刚架B2CD需要在B1和B2处铰接，但 在铅垂方向存在装配误差。已知各杆均为直径d=20毫米的钢 杆，长为L1000毫米，材料的弹性模量为E200GPa，剪变 模量G0.4E，许用应力为=100Mpa,且不考虑剪力的影响 。试根据强度条件确定最大允许的装配误差，以及B1和B2间 的相互作用力。 A B1 B2 C D L L L 7、水平曲拐ABC为圆截面折杆，在C端的上方有一铅垂杆 DK。制造时DK做短了。曲拐AB段和BC段的抗扭刚度和抗 弯刚度皆为EI、GIP。且GIP4 EI /5。杆DK的抗拉刚度为 EA，且EA2EI/(5a2)。求:在AB段的B端加多大的扭矩， 才可使C点刚好与D点接触。若C、D两点接触后，用铰链 将C、D两点连接在一起，再逐渐撤出所加扭矩，求此时DK 杆的轴力和固定端A截面的内力。 A B D K C 2a a a 8 直梁ABC在承受荷载前搁置在支座A、C上，梁与 支座B间有一间隙。当加上均布荷载后，梁就发生 变形而在中点处与支座B接触，因而三个支座都产 生约束反力。如要使这三个约束反力相等，则值 应为多大？ 143 用力法正则方程解超静定结构 一、力法的基本概念 1、多余约束 如果该处约束反力已知，则力系便成为静定 系统；且该约束对体系的几何不变无影响。 2、相当系统 解除多余约束，代之以相应的约束反力，此时在外 力与多余约束反力的作用下成为静定结构。 X1 P B 3、解的唯一性 既满足力系平衡，又满足变形协调。 4、正则方程 利用B处竖向位移 ，可求出X1。 P B X1 、设 为B处沿X1方向作用单位力 时B点沿方向的位移； B 1.0 、此时B点的变形协调方程可写为： ， 系数项计算 5 B 1.0 为只考虑单位力作用下的内力方程 P B X1 MP(x)为去掉多余约束力，只考 虑外载作用下的内力方程。 P P B X1 6 回代到正则方程 求解得到 注意： 1、写外载作用下内力方程时，多余约束0， 其余支座不动； 2、写单位载荷作用下的内力方程时，外载=0，支座不动。 二、静不定次数的确定 1、用力法计算超静定时，应先确定多余约束的数目； 2、在超静定结构上去掉多余约束的基本方式有： 判定系统为几次静不定，从而确定补充方程的个数。 一般情况下，多余约束力的个数，就是静不定的次数。 、去掉一个链杆，相当于去掉一个联系； X1 X1 、去掉一个单铰，相当于去掉两个联系； X1X1 X2 X2 、切断一根梁式杆，相当于去掉三个联系； X1 X1 X2 X2 X3 X3 、钢接处改为单铰，相当于去掉一个联系。 X1 X1 三、力法的典型方程 力法的思想 力法以多余力作为未知量，通过位移条件求解多 余约束力，再由静定系统求其他的未知反力。 例、图示中刚架的抗弯刚 度EI为常量。求约束反力。 P1 P2 AB P1 P2 A X1 X2 X3 1、取支座B处为多余约束拆除， 暴露出三个约束反力X1、X2、X3 P1 P2 AB 2、在B处，由于约束的限制 不可能有任何的线位移和角 位移。 故其约束条件为： （沿X1方向的线位移为零） （沿X2方向的线位移为零） （沿X3方向的角位移为零）。 P1 P 2 1.0 1.0 1.0 3、设：和外载分别作用于静定基 点B沿方向的位移分别为： 点B沿方向的位移分别为： 点B沿 方向的位移分别为别为 ： 分别引起 P1 P2 A X1 X2 X3 应用叠加原理得到点B的总位移为： 正则方程 P1 P2 A X1 X2 X3 n次超静定时的正则方程为： 为主系数， 为副系数； 表示引起处沿方向的位移； 表示结构所有已知载荷产生的在处沿 方向的位移。 由位移互等知： 、写外载引起的内力方程时，多余力去掉； 中将含有项，即： 注意事项 、单位力分别施加，一次只能施加一个单位力； 、切断一根梁时， 、折掉一根二力杆时， 且积分遍布于整个结构上； 多余约束力成对出现，施加单位力 时也应成对施加，相当于相对位移等于零。 、求出多余力后，欲求某点位移时，莫尔积分应遍布整个结构； 、写外载作用下的内力方程时，多余力去掉，支座不动； 写单位力作用下的内力方程时，外载卸掉，支座不动。 注意事项 力法的计计算步骤骤 、解正则方程，求多余约束反力； 、判定超静定次数，确定多余约束； 、去掉多余约束，并用约束反力代换得到相当系统； 、建立正则方程； 写外载作用下的内力方程MP(x)时，和单位载 荷作用下的内力方程，并计算系数项。 系数项的计算 主系数： 副系数： 常数项： 静不定系统的内力 例1、刚架如图所示，抗弯刚度为EI ，求刚架的约束反力 。 P a/2a/2 a A B C D （1）、取固定铰处为多余约束卸 掉，得到相当系统； a/2a/2 a X1 X2 P （2）、此系统为次超静定 ，写出正则方程如下： x x x P （3）、分别施加单位力，写单位力作用下的内力方程 和外载作用下的内力方程。 外载作用下各段的内力方程 CD段： BC段： BA段 P a/2a/2 a A B C D 1.0 1.0 P a/2a/2 a A B C D 单位力X1=1.0作用下对应段的内力方程 单位力X=1.0作用下对应段的内力方程 ； （4）、计算各系数项 (5)代入正则方程： 求解得到： 1 判定多余约束反力的数目； C 例3 如图所示，梁EI为常数。 试求支座反力，作弯矩图，并 求梁中点的挠度。 P A B (a) P A B C X1 (b) 选取并去除多余约束，代 以多余约束反力，列 出变形 协调方程。 变形协调方程 变形协调方程 用能量法计算 和 P A B C (c) x (d) x A B X1 A B 1 x (e) 由莫尔定理可得(图c、d、e) 求多余约束反力 将上述结果代入变形协调方程得 求其它约束反力 由平衡方程可求得A端反 力，其大小和方向见图(f)。 C P A B ( f ) 作弯矩图，见图(g)。 (g) + 求梁中点的挠度 选取基本静定系( 见图( b) 作为计算对象。单位载荷如图(h) 。 P A B C X1 (b) x 1 A B C (h) 用莫尔定理可得 注意：对于同一超静定结构，若选 取不同的多余约束，则基本静定系 也不同。本题中若选固定段处的转 动约束为多余约束，基本静定系