北师大版初中数学八年级上册勾股定理中考考点.doc

勾股定理 中考考点 掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。考点讲解勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：c=a+b(c为斜边)。它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。一、问题的提出：小明放学回家要经过一块长方形的麦地。如图：1、 小明本来应走大路从A经B到C可是他却直接从A到C，为什么？2、 为什么近、近多少？3、用数学知识如何解答？二、量一量，算一算：1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3，4和5，12请你量出斜边的长度。 2、进行有关的计算。3、得出结论：三、证明结论：利用拼合三角形的方法，如下：（1） 由（1） 由（2） （2）如图： 练习：1、判断： （1）已知a、b、c是三角形的三边，则 （ ） （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 （ ） （3）在 （ ）2、填空：在中，（1）如果a=3，b=4，则c=（2）如果a=6，b=8，则c=（3）如果a=5，b=12，则c=(4) 如果a=15，b=20，则c=3、 解决新课开始提出的问题中考考点1把握勾股定理的逆定理；2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。考点讲解1勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a+b= c，那么这个三角形是直角三角形。注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。1用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）首先求出最大边（如c）；（2）验证a+b与c是否具有相等关系； 若c2=a2+b，则ABC是以C=90的直角三角形。 若c2 a2+b，则ABC不是直角三角形。2直角三角形的判定方法小结：（1）三角形中有两个角互余；（2）勾股定理的逆定理；3紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。四、典型例题 例1. 在中，于D，求证： （1） （2） 分析：在图中有与三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。 证明： （1） （2）又 即 例2、 已知中，求AC边上的高线的长。 分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。 解： 为，且 作于D 设，则 答：AC边上的高线长为。 例3.已知：如图，ABC中，AB=AC，D为BC上任一点， 求证：AB2AD2=BDDC 思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AEBC于E，便出现两个全等的直角三角形。 由AB=ACBE=EC 结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在RtABE，RtADE中，由勾股定理，得AB2AD2=BE2DE2 AB2=AE2+BE2 AD2=AE2+DE2 由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是AB2AD2=BDCD AB2AD2=(BE+DE)(BEDE) 结合图形知：BE+DE=BD BEDE=CEDE=CD 例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，CBA=90,求S四边形ABCD 思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因CBA=90，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求 AC2=AB2+BC2=32+42=25 在CAD中，我们又可发现： AC2+AD2=25+122=169 DC2=132=169 AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知 ACD为Rt，且DAC=90 此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。 S四边形ABCD=SABC+SACD例5、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且EC = , 求证: EFA = 90分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。证明: 设正方形ABCD的边长为4a则EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a在RtABE中 在RtADF中 在RtECF中 由上述结果可得由勾股定理逆定理可知AEF为Rt, 且AE是最大边, 即AFE = 90例6、 已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，EF=10，AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF的长。 思路分析：依题意知AEF为Rt用勾股定理，立马而定，于是有 EF2=AE2+AF2 设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100 本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.五、专题检测：1、如图在ABC中, BAC = 90, ADBC于D, 则图中互余的角有A2对B3对C4对D5对2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3、 已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：。4. 已知：钝角，CD垂直BA延长线于D，求证：。5. 已知：，且，D在BC上，求证：。 6. 已知：，求证：。 7 已知：中，AD为BC中线，求证：。8、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。10：已知：如图，DABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DACA于A。求：BD的长。分析：因为DABC中，AB=AC，可作AEBC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可