信号分析与处理杨育霞许珉廖晓辉著中国电力出版社习题2.pdf

1 习题习题 2 2 2 2 2.1 化简以下各信号的表达式。 （1）（2）(3) t etdt sin() ( ) t t dt t （3）（4）(1) (1)ttdt + 2 ( )( ) t ett dt + （5）（6）cos(2 ) ( ) d tt dt ( ) t d et dt 解：(1) 3 e(3)de t tt = （2） sin() ( ) t t dt t sin ( ) ( )sin (0)c tt dtc = （4） 222 202 e( )( ) de( )e( ) d e( )dee12 13 0 ttt tt tttttt tt t +=+ =+= + =+ = = (5) d cos(2 ) ( )2sin(2 ) ( )cos(2 ) ( )2sin(2 ) ( )( ) d ttttttttt t = += + 2.2求题 2.2 图示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式） ，并画出幅度频谱。 题 2.2 图 O ( )x t tTT 2 T 2 T 2 A 2 A 解： （一）定义式求解（一）定义式求解 三角形式：三角形式：信号奇对称 0 0 k aa= ( )()()() ()() () 0 22 111 0 22 1 11 1 1 22 sinsinsin 22 0 coscos22cos2 22 0 2 1 cos1 cos 2 TT TT k AA bx tkt dtkt dtkt dt TT T kTAA ktkt T kTk kTAAA k kkk =+ = = ()11 k 2 ( )()()() () ()() ()() 011 1 1 1 1 1 1 1 cossin sin 1 cossin 11sin kk k k k k k k x taaktbkt bkt A kkt k A kt k = = = = =+ = = = 指数形式：指数形式： () () () () 1 22 1 cos 2 11 2 11 2 kkkk k k j Xajbb jA k k jA k jA k = = = = ( ) () () () () 111 11 0 22 0 22 2 0 2 1 0 1 1 1 11 22 2 sin cos2 0 1 cos 22 cos1 2 TT jktjktjkt TT k T jktjkt T AA Xx t edtedtedt TT A eedt T jA kt dt T T jA kt kT kTjA k jA k k =+ = = = = = = ()11 2 kjA k （二）利用一个周期的傅里叶变换求傅里叶级数的系数。（二）利用一个周期的傅里叶变换求傅里叶级数的系数。 取区间的构成单周期信号，其傅里叶变换(2,2)TT( )x t () () 22 1 0 2 2 0 ( )( )dsind cos(cos1) 2 TT j t T T Xx t etjAtt AjAT jt = = 3 ( ) () 0 0 1 0 2 1 cos1 2 cos1 2 sin () 2 0, , ( k k kTjA XX TkT jA k k jAk k k jA k k = = = = = （ 为偶数） 为奇数） 则傅里叶级数为： 0 ( ) jkt k jA x te k = 为奇数 利用时域微积分性质，的波形如图 1 所示。( )x t 题 53 图 1 0 (/2) 0 (/2) 1 ()( )() 2 1 cos() T jkt k T T jkXAtAtedt T A k T + + = = )cos(1 2 )cos(1 0 k k jA k Tjk A Xk= 利用时域移位性质求解。 (A) (-A) 4 题 53 图 2 参考图 2，有 1 ( )() 24 AT x tx t= + 4 0 4 1 0 2 T T A XAdt T = += 2 42 sincsinc 2222 Tk jkj T k AkAk Xee = 当k为偶数时；当k为奇数时。0 k X= k A Xj k = 是奇对称奇谐函数，傅里叶级数中只含有奇次谐波。)(tx 2.3 如图 2.3 所示的周期单位冲激序列，求其指数形式和三角形式的傅里叶级( )() T k ttkT = = 数。 t2TT-2T-T (1) o 题 2.3 图 解： （1）因为周期冲激序列是偶函数，则 2 2 2 ()sin()0 T Tk btkTk t dt T = =,. 0 1 ( ) T ax t dt T = 2 2 11 ( ) T T t dt TT = 2 2 2 ()cos() T Tk atkTk t dt T = 2 T 其三角形式的傅里叶级数为： ( )()()() 011 11 12 cossincos() kk kk x taaktbktk t TT = =+=+ A 5 （2）定义法：( )( ) 112 2 111 T jktjkt Tk T Xx t edtt edt TTT = 利用三角式系数() 11 2 kkk Xajb T = 取区间的构成单周期信号，其傅里叶变换(2,2)TT( )x t ，( ) 22 1 22 ( )( )dd1 TT j tj t TT Xx t ett et = ( ) 0 1 11 k k XX TT = = 指数形式的傅里叶级数为： 1 ( ) jk t k x te T = = O ( )x t tTT A/2 2 2 题 2.5 图 2.5 若周期信号和的波形如题 2.5 图所示。的参数为= 0.5s，T= 1s，A= 1v；的 1( ) x t 2( ) x t 1( ) x t 2( ) x t 参数为= 1.5s，T= 3s，A= 3v，分别求： （1）的谱线间隔和带宽； 1( ) x t （2）的谱线间隔和带宽； 2( ) x t （3）和的基波幅度之比； 1( ) x t 2( ) x t （4）和的三次谐波幅度之比。 1( ) x t 2( ) x t 解：频谱如图示sinc() k Ak X TT = （1）谱线间隔为基波角频率 11 6 22 rad/s, 1 MHz 1 10 f T = 带宽 6 22 rad/s, 2 MHz 0.5 10 ww Bf = （2） 11 6 221 rad/s, MHz 3 103 f T = 6 222 rad/s, MHz 1.5 103 ww Bf = （3） 1 111 1 11111 22222 22 222 sinc()sinc() 21 3 sinc()sinc() 2 k k AkAk XTTTA AkAk XA TTT = 2 2 O k X 1 T A 1 1 6 3 1 | | 21 11 = X X （4） 3 1 | | 23 13 = X X 2.10 利用傅里叶变换的性质，求题 2.10 图所示各信号的傅里叶变换。 O ( )x t t 1 1 O ( )x t 2t 1 1 2 O 1 ( )x t t12-1-2 （a）（b）（c） 题 2.10 图 解：(a) O ( )x t t 1 1 O ( ) x t t ( )1( )1 ()2 ( )( )()2()x tttt =+ ( )() 2 22cos24sin () 2 jj j Xee =+= ( ) () 2 2cos224 sin () 2 jj ee Xj jj + = （b）)2()2( 2 1 )( +=ttttx 1 ( ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) 2 x ttttt =+ 利用时域微分性质 ( ) 22 2sinc(2) 2sinc(2)2cos(2) jj j Xee =+ = 2 2 ( )sinc(2)cos(2) 1 2cos(2)sin(2) X j j = = （c）()()( )2 (2)(1) (1)(1)2 (1)(2)x ttttttttt=+ + + 2 ) 2 () 2 ( SaEttE O ( )x t 2t 1 1 2 O ( ) x t t ()1 1 2 ()1 2 2 7 O 1 ( )x t t12-1-2O 1 ( ) x t t12-1-2 -1 O 1 “( ) x t t12-1-2 ( )1( )1 ()1()1 利用一次微分求解：( ) (2)(1) (1)(2)x ttttt=+ ( )()() 1.51.5 sa() ee2 sin 1.5sa() 22 jj j Xj = ( )()() () 1.51.5 2 sin 0.5143 sa() ee2sin 1.5sinsin 222 2 jj X = 利用二次微分求解： “( ) (2)(1)(1)(2)x ttttt=+ ()( ) 2 22 eeee jjjj jX =+ () () ()( ) 22 eeee 2cos 22cos jjjj =+ = 33 2cos2cos 2222 3333 2 coscossinsin2 coscossinsin 22222222 3 4sinsin 22 =+ =+ = ( ) () 22 4343 sinsinsinsin 2222 X j = 2.14 若已知信号的频谱为，试求下列信号的频谱。( )x t( )X （1）（2）（3）（4）( ) 2 t x(25)xt(3)xt +(33 )xt 解： （3）( ) 3 () j YXe = （4）( ) 1 () 33 j YXe = 2.15 试用下列方法求题 2.15 图示余弦脉冲信号的傅里叶变换。 + 2 ) 2 () 2 ( SaEttE () 1.5 1 1.5Sa()e 2 j gt + 0 j 0 ()( )e t x ttX () 1.5 1 1.5Sa()e 2 j gt 8 （1）利用傅里叶变换的定义； （2）利用傅里叶变换的微分特性； （3）将他看作矩形脉冲函数与周期余弦函数的乘积。cos() 2 t O ( )x t t11 1 cos() 2 t 题 2.15 图 解： （1）定义： （2） ( )sin() 22 x tt = 1( ) sin 22 t x t = 11()() 22 11 11 ( )( )sin 224 jtjt j tj t tj Xx t edtedteedt = = 22 cos () 2 j = 1 22 ( )cos ( ) () 2 X X j = 2 ( )cos() (1)(1)(1)(1) 4222 x tttttt = + （3）)1() 1() 2 cos()(+=ttttx 方法一：利用频域卷积定理 + = 2 2 sin 2 2 c 1 1 22 ( )cos()d 2 4 cos 4 j t Xt et = = O ( ) x t t11 2 2 O “( ) x t t11 2 4 2 2 9 2 22 1 ( )F cosF( ) 22 1 ()() 2sinc 222 2cos2cos 22 4 cos 4 Xtg t = =+ =+ + = + = 2 2 sin 2 2 c -30-20-100102030 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 ( ) ()/XA 题 5-9 图 1 方法二：利用频移特性 22 2 2 ( )cos() (1)(1) 2 1 ()( ) 2 ( )2sin jtjt x tttt eeg t g tc =+ =+ 22 ( )sinc ()sinc () 22 4 cos 4 X =+ = 方法三：利用时域微性质 )1() 1() 2 cos()(+=ttttx ( )sin() (1)(1) 22 x tttt = + 10 2 2 2 ( )cos() (1)(1)sin() (1)(1) 4222 cos() (1)(1)(1)(1) 4222 ( )(1)(1) 422 x ttttttt ttttt x ttt = + = + = + 2 2 2 ()( )( )() 42 ( )cos( ) 4 jj jXXee X = + = + 222 2 cos( )4 cos ( ) 4 () 4 X j = + 2.17 求下列信号的傅里叶逆变换。 （1）（2） 0 () (2)(2) + （3）（4） 1 6( ) (2)(3)jj + + sin(5 ) 解： （3） =( )x t 11 111 6( )6( ) (2)(3)23 FF jjjj +=+ + 111 23 11 3 2( ) 23 3 ( ) tt FFF jj eet =+ + =+ 2.18 利用拉普拉斯变换的定义求下列信号函数的拉氏变换。 （2）(1)tt () 011 11 1 2 1 L(1)=(1)ddd 111 |dt(| ) 1111 ()() ststst ststsst sss ttttettett e s teeee sss eee ssss = = = + = =+ 2.19 利用拉普拉斯变换的性质求下列信号函数的拉氏变换。 （2） ( )(1)ttt )(21 j 1 )(e + a t at 11 22 L ( )(1)L( )(1) (1)(1) 111 ss tttttttt ee sss = = 2.20 写出如题 2.20 图所示各信号的表达式，并求其拉普拉斯变换。 O 1 ( )x t t 2 1 2 3 O 1 ( )x t t T O 1 ( )x t t 1 sin()t （a）（b）（c） 题 2.20 图 解：(b) 1 ( ) ( )()x ttttT T = ( ) 1 1 tx t T = 1( ) ( )()x tttT= 1 11 ( ) sT X se ss = (c)( )sin() ( )(1)x tttt= ()sin() ( )sin1(1)tttt =+ () 22 ( )1 s X se s =+ + 2.21