等差数列前n项求和教案

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 14 等差数列前 一、教学目标： 知识与技能目标： 掌握等差数列前 n 项和公式，能熟练应用等差数列前 过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法的原理。 情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。 二、教学重难点： 教学重点 : 探索并掌握等差数列前 n 项和公式，学会运用公式。 教学难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。 三、教学过程： 、创设情景，提出问题 印度著名景点 说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100层。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？从而提出问题怎样快速地计算 1+2+3+ +100=？，著名的数学家高斯十岁时就用简便的方法计算出 1+2+3+ +100=5050 ，介绍高斯的算法。 、教授新课： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 14 数学的方法并不是单一的，还有其他的方法计算1+2+3+ +100 吗？ 老师介绍倒序相加求和法， 记 S=1+2+3+ +100 S=100+99+98+ +1 可发现上、下这两个等式对应项的和均是 101，所以 2S=+ + 2S=101?100=10100 S=10100=5050 如果要计算 1,2,3, ,n 这 n 个数的和呢？，老师引导，类似上面的算法，可得 S=?1?n?n 2 1,2,3， ,n 这是一个以 1 为公差的等差数列，它的和等于 S=?1?n?n 2，对于公差为 d 的等差数列，它们的和也是如此吗？ 首先 ，一般地，我们称 a1?a2?数列 ?前 n 项和，用 Sn?a1?a2?似地： Sn?a1?a2? ? Sn?an? +： a1?a2?a3?an? ?a1?a2?a3?an?精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 14 2Sn?n 由此得： Sn?n 公式 1 由等差数列的通项公式 an?n?1?d 有， Sn?、例题讲解： n?n?1?2d 公式 2 、利用上述公式求 1+2+3+ +100=? 、例：等差数列 ?，已知： 4,18,n?8,求前 n 项和 d. 选用公式：根据已知条件选用适当的公式 变用公式：要求公差 d，需将公式 2Sn?n 求出 n?1? 2 d 知三求二 等差数列的五个基本量知三可求另外两个 、课堂小结： 1、公式的推导方法 :倒序求和 2、等差数列的前 n 项和公式 Sn?n Sn?n?n?1? 2d 3、公式的应用。 、作业 课本 45页练习第 1 题 46页 A 组第 2 题 等 差 数 列 前 n 项 和 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 14 一、知识与技能 1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前 n 项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。 2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通 过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。 二、过程与方法 1、启发式教学。从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。 2、探究式学习。从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。 三、情感态度与价值观 1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。 2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 14 不懈努力的探索精神。 重点：探索等差数列的前 n 项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决 简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。 难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。 解决办法 :以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图 形的变化得到“倒”的思路。 实物投影仪，多媒体软件，电脑 一、情景引入 : 1、印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿 ?成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100层，奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 即 : 1+2+3+ +100=？ 少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 14 高斯用的是首 尾配对的方法。 特点： 首项与末项的和： 1 100 101， 第 2 项与倒数第 2 项的和： 9 101， 第 3 项与倒数第 3 项的和： 9 101， 第 50项与倒数第 50项的和： 0 51 101， 于是所求的和是： 101 50 5050。 1+2+3+ +100= 101 50 =050 2、试一试：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？ 把“全等三角 形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边 形中的每行宝石的个数均为 101 个，共 100 行。有什么启发？ 1 + + + ? +9 +100 100+ + + ? + +2+1 1+2+3+ +100= 100 2=5050 想一想： 1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？ 2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？ 点出方法：倒序相加 二、推进新课 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 14 1、探究 1：求 1 到 n 的正整数之和 即： 1 2 3 ? n ?2?3?n ?1sn?n?2 ?2? ? n 2、看谁算得快：如图一堆钢管有多少根？ ?55 6 7 8 9=32 3、探究 2：那么，对于一般的等差数列，又该如何去求它的前 n 项和？ 即： a1+a2+?+an sn?S?a1?d证法 1：利用定义可得： ?n ?Sn?an?d 两式相加可得： 2Sn?n?n Sn?a1?法 2： Sn?an? ?a1?an?a2?a3?an? +可得： 2Sn?n Sn?n 公式变形：将 an?a1?Sn?综上所述：等差数列求和公式为： Sn?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 14 4、认识公式： 、用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了 割、补两种处理，对应着等差数列前 n 项和的两个公式 . 、公式特点： 相同点：都需知道 n 不同点： 第一个还需知道 第二个还需知道 d。 5、公式应用： 例 1：求等差数列 2， ?前 10项的和。 变式题：等差数列 2， ?前多少项和是 54？ 解：设题中的等差数列为 ?前 n 项为 10,d?4, 由公式可得 ?10n?n?4?52 解之得： ,3 等差数列 2?前 9 项的和是 54 思考：其实，在求和公式、通项公式中共有首项 差 d、项数 n、末项 n 项和 果已知其中 ，联列方程，就可求其余。 练习一： 1、 根据下列条件，求相应的等差数列前 n 项的和 00， d= 2， n=50 4， 18， n=8;4.5，d=2 2、已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，求其前 n 项和的公式 . 例 2、已知一等差数列精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 14 有 12项， a3+，求 练习二： 1、已知一等差数列中 0，则 A、 B、 60 C、 0 D、 120 2、已知一等差数列中 a3+a6+ 6，则 A、 11B 22C、 0 D、 22、 想一想： 1、等差数列第 k 项与倒数第 k 项的和等于 2、等差数列有奇数项，那么前 n 项和等于 公式的变式： ?k 222 三、课堂小结： 1、回顾公式的推导，从特殊到一般是我们研究问题的一般方法； 2、倒序相加的方法，数形结合的思想； 3、掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。 四、作业布置： 1、预习新课 2、书面作业：课本页，习题 第 2、 3 题 一、情景引入 1、以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 14 2、因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，我设计了一个“试一试”：假如 再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样 的图案呢？目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。 二、两个探究 1、探究 1，从特殊数列入手，让学生更好地体会 “倒序相加法”的优点。 2、“看谁算得快”是为了联系“梯形”图形，启发同学的思维，也是加深倒序法的感性认识。 3、探究 2：公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。 从情景引入到探究 1、 2，到公式的认识，无不体现了“数形结合”的思想。 三、例题及习题的选择 例 1 及变式题到例 2 有一定梯度，例 2 有点活，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的。 练习一是基本运用，体现了一定的梯度，第二题是书本的例题，要鼓励学生用多种解法。 练习二体现了公式的精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 14 灵活运用，更要突出解选择题的方法技巧。 练习题包含了三种题型，训练全面；能很好地让学生的能力得到逐步提升。 整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。 2008学设计： n 项和 学习目标 1. 通过预习课本 42 页，小组讨论，能说出等差数列前 n 项和公式的获取思路； 2. 通过同桌互相提问，会背等差数列前 n 项和公式 3. 通过例题及巩固训练会用等差数列的前 n 项和有关的问题 . 学习重点：等差数列前 项和公式的推导及简单应用； 学习难点：等差数列前 项和公式的推导思路的获得。 评价设计： 通过观察、阅读教材在学习小组内同桌互相口述等差数列求和公式证明的思路，准确记忆等差数列的前 n 项和求和公式。 运用教师提供的选择性评价，请同伴评价自己的学习效果，并进行自我评价，从而调整自己的学习进程。 1、对于目标 1，通过课堂提问，要求学生叙述的关键精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 14 词准确。达标率 100 2、对于目标 2，通过课堂提问，要求学生表达的数学式子完整准确。达标率 100 3、对于目标 3，通过学生练习。达标率 80 学习过程 一、知识准备 等差数列的通项公式是什么？ 二、新课导学 创设情景 :如图 ,一个堆放钢管的 V 形架的 最下面一层放一根 钢管 ,往上每一层都比它 下面一层多放一根钢管 ,最上面一层放 100根 , 这个 V 形架上共放着多少根钢管 ? 自主探究：特殊的等差数列前 n 项和公式 预习课本 42页回答以下问题 1. 计算 1+2+ +100=? 2. 如何求 1+2+ +n=? 新知：数列 前 n 项和： 一般地，称为数列 前 n 项的和，用 示，即合作探究：一般的等差数列前 n 项和公式 如何求首项为 n 项为 前 n 项的和 ? 如何求首项为 差为 d 的等差数列 前n 项的和 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 14 小结： n，必须具备三个条件： . 用 Sn?必须已知三个条件： 21. 用 完成目标 1 及目标 2 典型例题 例 2. 等差数列 ?，已知 d?20,n?37,29，求 4例已知等差数列 5， ， ， 7 求 数列 通项公式； 125数列 前几项和为？ 最大值为多少？并求出此时相应的 n 的值 小结：等差数列前 n 项和公式就是一个关于 n、 d 的方程，可以做到知三求一，另外体现函数与