函数性质教案

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 15 函数性质教案 1. 设 x1?a,b?,x1?么 f?f?0?f 在 ?a,b?上是增函数； x1?x2 f?f?0?f 在 ?a,b?上是减函数 . ?f?f?0?x1?函数 y?f 在某个区间内可导，如果 f?0，则 f 为增函数；如果 f?0，则 f 为减函数 . 注：如果函数 f 和 g 都是减函数 ,则在公共定义域内 ,和函数 f?g 也是减函数 ;如果函数 y?f 和 u?g 在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数 y?fg是增函数 . ?f?f?0? 2. 奇偶函数的图象特征 函数奇偶性的判定 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 注：若函数 y? f?f；若函数 y?f 是偶函数，则 f?f. 注：对于函数 y?f,f?则函数 f 的对称轴是函数 x?a?ba?b;两个函数 y?f与 y?f 的图象关于直线 x?对称 .2 a 注：若 f?f,则函数 y?象关于点对称 ;若 2 f?f,则函数 y? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 15 3. 多项式函数 P?奇偶性 多项式函数 P 是奇函数 ?P 的偶次项的系数全为零 . 多项式函数 P 是偶函数 ?P 的奇次项的系数全为零 . y?函数 y?x?a 对称 ?f?f ?f?f. 函数 y?x?a?b 对称 ?f?f ?f?f. 4. 两个函数图象的对称性 函数 y?y?x?0对称 . 函数 y?y?x?a?m 函数 y?f和 y?f?1的图象关于直线 y= y?f 的图象右移 a、上移 b 个单位，得到函数 y?f?b 的图象；若将曲线 f?0 的图象右移 a、上移 b 个单位，得到曲线 f?0的图象 . 5. 互为反函数的两个函数的关系 f?b?f?1?a. y?则其反函数为 y?1?b,并不是 y?f?1,而函数 y?f?1是 y? 6. 几个常见的函数方程 1f?b的反函数 . k 正比例函数 f?cx,f?f?f,f?c. x 指数函数 f?a,f?ff,f?a?0. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 15 对数函数 f?f?f?f,f?1. 幂函数 f?x,f?ff,f?. 余弦函数 f?正弦函数 g?f?ff? ?f?1,g?1. x 7. 几个函数方程的周期 f?f，则 f 的周期 T=a； f?f?0， 1?0)， f 1 或 f?0), f 1 或 ?f,?0,1?),则 f 的周期 T=2a； 1?0)，则 f 的周期 T=3a； f?1?f f? f?1?f?1,0?|x1?2a)，则 1?ff f 的周期 T=4a； f?f?ff?f ? f 的周期 T=5a； f?f?f，则 f 的周期 T=6a. 或 f? 8. 分数指数幂 a ?m n1 m 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 15 n. . ?a 当 n ?a； 当 n?|a|? 10. 有理指数幂的运算性质 ar?as?ar?s. s?r?p 注：若 a 0， p 是一个无理数，则 a 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用 . ?a,a?0. ?a,a?0? b?. 11. 对数的四则运算法则 若 a 0， a 1， M 0， N 0，则 M?N ：设函数 f? ?b?4 f 的定义域为 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 15 R,则 a?0，且 ?0;若 f 的值域为 R,则 a?0，且 ?的情形 ,需要单独检验 . 12. 对数换底不等式及其推论 1,则函数 y?a 11当 a?在和上 y? 1 当 a?b 时 ,在和上 y?减函数 . a?0,b?0,x?0,x? 推论 :设 n?m?1， p?0， a?0，且 a?1，则 p?n. 四典例解析 题型一：判断函数的奇偶性 例 1讨论下述函数的奇偶性： 解：函数定义域为 R， ， f 为偶函数； 先化简： 以看出，化简后再解决要容易得多。 须要分两段讨论： 设 ，显然为偶函数；从这可 设 当 x=0时 f=0，也满足 f= f； 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 15 由、知，对 x R 有 f = f， f 为奇函数； ，函数的定义域为， f= ，即 f 的图象由两个点 A 与 B 组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称， f 既是奇函数，又是偶函数； 要分 a 0与 a 当 a 0时， ，当 a 0时， f 为 奇函数； 既不是奇函数，也不是偶函数 . 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程。 例 2设函数 f 在内有定义，下列函数： y= |f|； y= y= f； y=f f。 必为奇函数的有 _ 答案：；解析： y=f 2 = y； y=f f= y。 点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 题型二：奇偶 性的应用 例 3设 上的奇函数，若当 x 0时， f= f=_。 答案： 1；解：因为 x 0 时， f= f 为奇函数，所以 f= f，设 x 0，所以 f= f= f，所以 f= 1。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 15 点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。 例 4已知定义在 R 上的函数 y= f 满足 f= f，且 f 是偶函数，当 x 0， 2时， f=2x 1，求 x 4， 0时 f 的表达式。 解：由条件可以看出 ，应将区间 4， 0分成两段考虑： 若 x 2， 0， x 0， 2， f 为偶函数， 当 x 2， 0时， f= f= 2x 1, 若 x 4， 2， 4+ x 0， 2， f+ f， f= f， f= f= f4 = f=2 1=2x+7； 综上， 2 值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 第 4 课时 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 15 教学目的：理解函数的奇偶性及其几何意义； 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 学会判断函数的奇偶性 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 教学过程： 一、引入课题 1实践操作： 取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答 相应问题： 1 以 y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸 展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数 y=f 的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：可以作为某个函数 y=f 的图象，并且它的图象关于 y 轴对称； 若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等 以 y 轴为折痕将 纸对折，然后以 x 轴为折痕将纸对折，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 15 在纸的背面画出第一象 限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数 y=f 的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：可以作为某个函数 y=f 的图象，并且它的图象关于原点对称； 若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数 观察思考 二、新课教学 函数的奇偶性定义 1 中的图象关于 y 轴对称的函数即是偶函数， 2 中的图象关于原点对称的函数象上面实践操作操作 即是奇函数 1偶函数 一般地，对于函数 f 的定义域内的任意一个 x，都有f=f，那么 f 就叫做偶函数 ：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义奇函数 一般地，对于函数 f 的定义域内的任意一个 x，都有f=f，那么 f 就叫做奇函数 注意： 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 15 的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义 可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称 典型例题 1判断函数的奇偶性 例 1应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性 解： 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定 f 与 f 的关系； 作出相应结论： 若 f = f 或 f f = 0，则 f 是偶函数； 若 f = f 或 f f = 0，则 f 是奇函数 巩固练习： 说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数利用函数的奇偶性补全函数的图象 规律： 偶函数的图象关于 y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 15 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据 3函数的奇偶性与单调性的关系 举几个简单的奇 函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征 例 3已知 f 是奇函数，在上是增函数，证明： f 在上也是增函数 解： 规律： 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 三、归纳小结，强化思想 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要 学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质 四、作业布置 书面作业：课本 第 6 题， 五、教学反思：分段函数奇偶性的判断中，学生对 f = f 或 f = f 中 f 取哪一部分比较不明确。特别地，奇函数在 0 处有定义 f=0，抓住函数的图象特征直观形象地辅助解题。 第 5 课时本单元小结 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 15 教学目的：理解函数奇偶性与单调性定义、判定方法； 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 函数的奇偶性与单调性的关系 教学重点：函数的奇偶性与单调 性的关系 教学难点：已知函数的奇偶性与单调性，求参数的范围 教学过程： 一、复习回顾： 1证明函数单调性的步骤；求函数单调区间的方法；函数的奇偶性定义； 4判断函数的奇偶性的步骤； 5具有奇偶性的函数的图象的特征。 二、综合能力提升： 1判断下列函数的奇偶性： 2x f=； x+1 f=a ? f=? 点评：判断函数的奇偶性注意先求函数的定义域，含参数问题 注意是否需要分类讨论。 y=f 为奇函数 ,且当 x0 时 ,f=,则当 x 点评：运用特殊到一般的推理 3若函数 f 是定义在 R 上的偶函数，在上是减函数，且 f=0，则使得 f 2 A. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 15 C.? 变式思考 :若 f 在 ?上为奇函数 ,且在上是单调增函数 ,f=0,则不等式 点评：对抽象函数的性质运用数形结合法求解。 f=x+ 1, x 判断函数 f 的奇偶性 ,并证明你的结论 ; 证明 :函数 点评：证明函数的奇偶性和单调性必须依据定义，进行严谨的推理论证。已知 f= ax+定义在 R 上的奇函数，且 f=, 2 求 f 的解析式； 判断并证明 y= 点评：运用待定系数法求解。 三、归纳小结，强化思想： 判断函数的奇偶性注意先求函数的定义域，含参数问题注意是否需要分类讨论； 对抽象函数的性质运用数形结合法求解或运用特殊到一般的推理； 证明函数的奇偶性和单调性必须依据定义，进行严谨的推理 论证。 四、教学反思：证明函数的奇偶性和单调性必须依据定义，进行严谨的推理论证。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 15 第一次月考试卷评讲 教学目的：集合的概念与表示； 集合的运算与表示 函数的概念与表示； 函数的性质与运用 教学重点：函数的奇偶性与单调性性质的应用 教学难点：已知函数的奇偶性与单调性，求参数的范围 教学过程： 连州中学 2013数学试卷 考试时间： 120分钟总分： 150 分 一、选择题 1下列说法正确的是 某个班级年龄较小的同学组成一个集合 ; 1