2017-2018海淀区高三第一学期理科数学期末试卷.pdf

更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 1页（共 4 页） 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科）2018. 1 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。 第一部分第一部分（选择题选择题，共，共 40 分分） 一一、选择题选择题共共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在在每小题列出的四个选项中每小题列出的四个选项中，选选 出出符合题目要求的一项符合题目要求的一项。 （1）复数 1 2 i i （A）2i（B）2i（C）2 i（D）2 i （2）在极坐标系Ox中，方程2sin表示的圆为 （A）（B）（C）（D） （3）执行如图所示的程序框图，输出的k值为 （A） 4（B） 5（C）6（D）7 （4）设m是不为零的实数，则“0m ”是“方程 22 1 xy mm 表示双曲线”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 2页（共 4 页） （5）已知直线0xym与圆O： 22 1xy相交于A，B两点，且OAB为正三角形， 则实数m的值为 （A） 3 2 （B） 6 2 （C） 3 2 或 3 2 （D） 6 2 或 6 2 （6）从编号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球， 则恰有两个小球编号相邻的概率为 （A） 1 5 （B） 2 5 （C） 3 5 （D） 4 5 （7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： 三棱锥的体积为 1 6 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的值是 3 2 所有正确的说法是 （A）（B） （C）（D） （8）已知点F为抛物线C： 2 20ypx p的焦点，点K为点F关于原点的对称点， 点M在抛物线C上，则下列说法错误 的是 （A）使得MFK为等腰三角形的点M有且仅有 4 个 （B）使得MFK为直角三角形的点M有且仅有 4 个 （C）使得 4 MKF 的点M有且仅有 4 个 （D）使得 6 MKF 的点M有且仅有 4 个 第二部分第二部分（非选择非选择题，共题，共 110 分分） 二二、填空题共、填空题共 6 小题小题，每小题，每小题 5 分分，共，共 30 分分。 （9）点(2,0)到双曲线 2 2 1 4 x y的渐近线的距离是_ . （10）已知公差为1的等差数列 n a中， 1 a， 2 a， 4 a成等比数列，则 n a的前 100 项的 和 为 （11）设抛物线C： 2 4yx的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛 物线C交于 A，B 两点，则OAOB 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 3页（共 4 页） （12）已知51 n x 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64：1， 则n （13）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为4 2，M是棱BC的中点，点P在底面 ABCD 内，点Q在线段 11 AC上.若1PM ，则PQ长度的最小值为 （14）对任意实数k，定义集合 20 ( , )20, , 0 k xy Dx yxyx y kxy R. 若集合 k D表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是； 当0k 时， 若对任意的 0 ( , )x yD， 有31ya x恒成立， 且存在 0 ( , )x yD， 使得xya成立，则实数a的取值范围为 三三、解答题解答题共共 6 小题小题，共，共 80 分分。解答。解答应应写出文字说明，写出文字说明，演演算算步骤步骤或证明过程或证明过程。 （15） （本小题 13 分） 如图， 在ABC 中， 点D在AC边上， 且3ADDC，7AB ， 3 ADB ，= 6 C . （）求DC的值； （）求tanABC的值. （16） （本小题 13 分） 据中国日报网报道： 2017 年 11 月 13 日， TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示， 中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了 国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度， 某调查公司对两种国产品牌处理器 进行了 12 次测试，结果如下： （数值越 小 ，速度越快 ，单位是 MIPS） 测试 1 测试 2 测试 3 测试 4 测试 5 测试 6 测试 7 测试 8 测试 9 测试 10 测试 11 测试 12 品牌A3691041121746614 品牌B2854258155121021 （）从品牌A的 12 次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于 7 的概率； （）在 12 次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果 的次数，求X的分布列和数学期望()E X； （）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字与表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字 与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 4页（共 4 页） 打开文件的速度进行评价. （17） （本小题 14 分） 如图 1， 梯形ABCD中，/ADBC，CDBC，1BCCD，2AD ，E为AD 中点.将ABE沿BE翻折到 1 A BE的位置， 使 11 AEAD如图 2. （）求证：平面 1 AED平面BCDE； （）求 1 AB与平面 1 ACD所成角的正弦值； （） 设M、N分别为 1 AE和BC的中点， 试比较三棱锥 1 MACD和三棱锥 1 NACD （图中未画出）的体积大小，并说明理由. 图 1图 2 （18） （本小题 13 分） 已知椭圆C： 22 29xy，点(2,0)P. （）求椭圆C的短轴长与离心率； （）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T， 判断|TP与|TM的大小，并证明你的结论. （19） （本小题 14 分） 已知函数 2 ( )222 x f xaxxe （）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （）当0a 时，求证：函数( )f x有且只有一个零点； （）当0a 时，写出函数( )f x的零点的个数.（只需写出结论） （20） （本小题 13 分）无穷数列 n a满足： 1 a为正整数，且对任意正整数 n， 1n a 为前 n 项 12 , n a aa中等于 n a的项的个数. （）若 1 2a ，请写出数列 n a的前 7 项； （）求证：对于任意正整数 M，必存在k N，使得 k aM； 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 5页（共 4 页） （）求证：“ 1 1a ”是“存在m N，当nm时，恒有 2nn aa 成立”的充要条件. 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 6页（共 4 页） 海淀区高海淀区高三三年级第年级第一一学期期学期期末末练习参考答案练习参考答案2018.1 数数学学（理科）（理科） 阅卷须知阅卷须知: 1. .评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2. .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 题号12345678 选项ADBADCDC 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.(.(有两空的小题第一空有两空的小题第一空 3 3 分分) ) （9） 2 5 5 （10）5050（11）2（12）6 （13） 33 （14）( 1,1) 1 2, 5 三三、解答题解答题: : 本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 15. （本小题 13 分） 解： （）如图所示， 366 DBCADBC ，.1 分 故DBCC ，DBDC.2 分 设DCx，则DBx，3DAx. 在ADB中，由余弦定理 222 2cosABDADBDA DBADB.3 分 即 222 1 7(3 )2 37 2 xxx xx ，.4 分 解得1x ，即1DC .5 分 （）方法一. 在ADB中，由ADAB，得60ABDADB ，故 362 ABCABDDBC .7 分 在ABC中，由正弦定理 sinsin ACAB ABCACB 即 47 1 sin 2 ABC ，故 2 sin 7 ABC，.10 分 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 7页（共 4 页） 由(, ) 2 ABC ，得 3 cos 7 ABC ，.11 分 22 tan3 33 ABC 13 分 方法二. 在ADB中，由余弦定理 222 7 1 91 cos 227 12 7 ABBDAD ABD AB BD .8 分 由(0, )ABD，故 3 3 sin 2 7 ABD 故tan3 3ABD .11 分 故 3 3 3tantan 2 63 tantan()3 633 1tantan 13 3 6 3 ABD ABCABD ABD 13 分 方法三： 222 2cos3BCBDCDBD CDBDC，3BC 222 3 cos 27 BABCAC ABC BA BC 8 分 因为(0, )ABC，所以 2 sin 7 ABC11 分 所以 22 tan3 33 ABC 13 分 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 8页（共 4 页） 16. （本小题 13 分） （）从品牌A的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的文件有： 测试 1、2、5、6、9、10、11，共 7 次 设该测试结果打开速度小于 7 为事件A，因此 7 ( ) 12 P A .3 分 （）12 次测试中，品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数有： 测试 1、3、4、5、7、8，共 6 次 随机变量X所有可能的取值为：0，1，2，3 30 66 3 12 1 (0) 11 C C P X C 21 66 3 12 9 (1) 22 C C P X C 12 66 3 12 9 (2) 22 C C P X C 03 66 3 12 1 (3) 11 C C P X C .7 分 随机变量X的分布列为 X0123 P 1 11 9 22 9 22 1 11 .8 分 19913 ()0123 112222112 E X .10 分 （）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况， 阅卷时按照标准酌情给分. 给出明确结论，1 分； 结合已有数据，能够运用以下 8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2 分. 13 分. 标准 1:会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A、 品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述 （这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件 的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的 处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速 度） 标准 2:会用前 6 次测试品牌 A、 品牌 B 的测试结果的方差与后 6 次测试品牌 A、 品牌 B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测 试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器 打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动） 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 9页（共 4 页） 标准 3： 会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、 后 6 次测试结果的平均值与品牌 B 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的 平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值，品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B） 标准 4： 会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、 后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于 品牌 B 前 6 次测试结果的方差，品牌 A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果 的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B，品牌 A 打开含有文字 和图形的文件的速度波动小于品牌 B） 标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均 值进行阐述（品牌 A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值，品 牌 A 打开文件的平均速度快于 B） 标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进 行阐述（品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开 文件速度的波动小于 B） 标准 7：会用前 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次 数、后 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（前 6 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 2 次，占 1/3. 后 6 次测试中，品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次， 占 2/3. 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于 B， 品牌 A 打开含有文 字和图片的文件的速度快于 B） 标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次 数进行阐述（这 12 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次，占 1/2. 故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当） 参考参考数据数据 期望前 6 次后 6 次12 次 品牌 A5.509.837.67 品牌 B4.3311.838.08 品牌 A 与品牌 B4.9210.83 方差前 6 次后 6 次12 次 品牌 A12.3027.3723.15 品牌 B5.0731.7732.08 品牌 A 与品牌 B8.2727.97 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 10页（共 4 页） 17. （本小题 14 分） （）证明：由图 1，梯形ABCD中，/ADBC，CDBC，1BC ，2AD ， E为AD中点，BEAD 故图 2， 1 BEAE，BEDE1 分 因为 1 A EDEEI， 1 A E，DE 平面 1 ADE2 分 所以BE 平面 1 ADE3 分 因为BE 平面BCDE，所以平面 1 ADE平面BCDE4 分 （） 解一：取DE中点O，连接 1 OA，ON. 因为在 1 ADE中， 11 1AEADDE，O为DE中点 所以 1 AODE 因为平面 1 ADE平面BCDE 平面 1 ADE平面BCDEDE 1 AO平面 1 ADE 所以 1 AO 平面BCDE 因为在正方形BCDE中，O、N分别为DE、BC的中点， 所以ONDE 建系如图. 则 1 3 (0,0,) 2 A， 1 (1,0) 2 B， 1 (1,0) 2 C， 1 (0,0) 2 D， 1 (0,0) 2 E.5 分 1 13 (1,) 22 AB uuu r 1 13 (0,) 22 AD uuur ，(1,0,0)DC uuu r ， 设平面 1 ACD的法向量为( , , )nx y z r ，则 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 11页（共 4 页） 1 0 0 n AD n DC r uuu r r uuu r ，即 13 0 22 0 yz x ，令1z 得，3y ， 所以(0,3,1)n r 是平面 1 ACD的一个方向量.7 分 1 1 1 36 cos, 42 2 | | AB n AB n ABn uuu r r uuu r r uuu rr9 分 所以 1 AB与平面 1 ACD所成角的正弦值为 6 4 .10 分 （） 解二：在平面 1 ADE内作EFED， 由BE 平面 1 ADE，建系如图. 则 1 13 (0,) 22 A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,1,0)D， (0,0,0)E.5 分 1 13 (1,) 22 AB uuu r 1 13 (0,) 22 AD uuur ，(1,0,0)DC uuu r ， 设平面 1 ACD的法向量为( , , )nx y z r ，则 1 0 0 n AD n DC r uuu r r uuu r ，即 13 0 22 0 yz x ，令1z 得，3y ， 所以(0,3,1)n r 是平面 1 ACD的一个方向量.7 分 1 1 1 36 cos, 42 2 | | AB n AB n ABn uuu r r uuu r r uuu rr9 分 所以 1 AB与平面 1 ACD所成角的正弦值为 6 4 .10 分 （）解：三棱锥 1 MACD和三棱锥 1 NACD的体积相等. 理由如下: 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 12页（共 4 页） 方法一：由 13 (0,) 44 M， 1 (1,0) 2 N，知 13 (1,) 44 MN uuur ，则 0MN n uuur r 11 分 因为MN 平面 1 ACD，12 分 所以/MN平面 1 ACD.13 分 故点M、N到平面 1 ACD的距离相等，有三棱锥 1 MACD和 1 NACD同底等高， 所以体积相等.14 分 方法二：如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN. 因为在 1 ADE中，M，P分别是 1 A E，DE的中点，所以 1 /MPAD 因为在正方形BCDE中，N，P分别是BC，DE的中点，所以/NPCD 因为MPNPP，MP，NP 平面MNP， 1 AD，CD 平面 1 ACD 所以平面MNP /平面 1 ACD11 分 因为MN 平面MNP，12 分 所以/MN平面 1 ACD13 分 故点M、N到平面 1 ACD的距离相等，有三棱锥 1 MACD和 1 NACD同底等 高，所以体积相等.14 分 法二法三 方法三：如图，取 1 AD中点Q，连接MN，MQ，CQ. 因为在 1 ADE中，M，Q分别是 1 A E， 1 AD的中点，所以/MQED且 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 13页（共 4 页） 1 2 MQED 因为在正方形BCDE中，N是BC的中点，所以/NCED且 1 2 NCED 所 以/MQNC且MQNC， 故 四 边 形MNCQ是 平 行 四 边 形 ， 故 /MNCQ11 分 因为CQ 平面 1 ACD，MN 平面 1 ACD， 12 分 所以/MN平面 1 ACD. 13 分 故点M、N到平面 1 ACD的距离相等，有三棱锥 1 MACD和 1 NACD同底等 高，所以体积相等.14 分 18. （本小题 13 分） 解： （）C： 22 1 9 9 2 xy ，故 2 9a ， 2 9 2 b ， 2 9 2 c ， 有3a ， 3 2 2 bc.2 分 椭圆C的短轴长为23 2b ，3 分 离心率为 2 2 c e a .5 分 （）方法 1：结论是：|TPTM. 当直线l斜率不存在时，:1l x ，|0| 2TPTM7 分 当直线l斜率存在时，设直线l：(1)yk x， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N x y 22 29 (1) xy yk x ，整理得： 2222 (21)4290kxk xk8 分 2 2222 (4)4(21)(29)64360kkkk 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 14页（共 4 页） 故 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 29 21 k x x k 9 分 PM PN uuu r uuu r 1212 (2)(2)xxy y 2 1212 (2)(2)(1)(1)xxkxx 222 1212 (1)(2)()4kx xkxxk 22 222 22 294 (1)(2)4 2121 kk kkk kk 2 2 65 21 k k 013 分 故90MPN，即点P在以MN为直径的圆内，故|TPTM （）方法 2：结论是：|TPTM. 当直线l斜率不存在时，:1l x ，|0| 2TPTM7 分 当直线l斜率存在时，设直线l：(1)yk x， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N x y，(,) TT T xy 22 29 (1) xy yk x ，整理得： 2222 (21)4290kxk xk8 分 2 2222 (4)4(21)(29)64360kkkk 故 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 29 21 k x x k 9 分 2 12 2 12 () 221 T k xxx k ， 2 (1) 21 TT k yk x k 10 分 222242 22222 222222 2(22)494 |(2)(2)() 2121(21)(21) TT kkkkkk TPxy kkkk 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 15页（共 4 页） 11 分 222222 121212 222242 22 222222 111 |(|)(1)()(1) ()4 244 1429(1)(169)16259 (1)()4 42121(21)(21) TMMNkxxkxxx x kkkkkk k kkkk 12 分 此时， 424242 22 222222 1625949412165 |0 (21)(21)(21) kkkkkk TMTP kkk 13 分 故|TMTP 19. （本小题 14 分） （）因为函数 2 ( )222 x f xaxxe 所以( )222 x fxaxe2 分 故(0)0f，(0)0f4 分 曲线( )yf x在0x 处的切线方程为0y 5 分 （）当0a 时，令( )( )222 x g xfxaxe，则( )220 x g xae 6 分 故( )g x是R上的增函数.7 分 由(0)0g，8 分 故当0x 时，( )0g x ，当0x 时，( )0g x . 即当0x 时，( )0fx ，当0x 时，( )0fx . 故( )f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增.10 分 函数( )f x的最小值为(0)f 由(0)0f，.11 分 故( )f x有且仅有一个零点. 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 16页（共 4 页） （）当01a时，( )f x有两个零点.12 分 当1a 时，( )f x有一个零点；13 分 当1a 时，( )f x有两个零点.14 分 20. （本小题 13 分） （）若 1 2a ，则数列 n a的前 7 项为 2，1，1，2，2，3，1 3 分 （）证法一 假设存在正整数M，使得对任意的 * kN， k aM. 由题意，1,2,3,., k aM，故数列 n a多有M个不同的取值5 分 考虑数列 n a的前 2 1M项： 1 a， 2 a， 3 a， 2 1M a 其中至少有1M 项的取值相同，不妨设 121M iii aaa 此时有： 1 1 1 M i aMM ，矛盾. 故对于任意的正整数M，必存在 * kN，使得 k aM.8 分 （）证法二 假设存在正整数M，使得对任意的 * kN， k aM. 由题意，1,2,3,., k aM，故数列 n a多有M个不同的取值5 分 对任意的正整数m，数列 n a中至多有M项的值为m，事实上若数列 n a中至少 有1M 项的值为m，其1M 项为 12311 , MMM iiiiii aaaaaa 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 高三年级（数学-理科）第 17页（共 4 页） 此时有： 1 1 1 M i aMM ，矛盾. 故数列 n a至多有 2 M项，这与数列 n a有无穷多项矛盾。 故对于任意的正整数M，必存在 * kN，使得 k aM.8 分 （）充分性： 若 1 1a ，则数列 n a的项依次为 1，1，2，1，3，1，4，1，2k ，1，1k ，1，k，1， 特别地，数列 n a的通项公式为 ,21 1,2 n knk a nk ，即 1, 21 2 1,2 n n nk a nk 故对任意的 * nN （1）若n为偶数，则 2 1 nn aa （2）若n为奇数，则 2 31 22 nn nn aa 综上， 2nn aa 恒成立，特别地，取1m 有当nm时，恒有 2nn aa 成立 （10 分） 必要性： 方法一 假设存在 1 ak（1k ） ，使得“存在mN，当nm时，恒有 2n