ch5：线性代数方程组求解(直接方法).ppt

向量与矩阵的范数 定义2.3.1 对任意的向量 ,若对应一个非负的实值函 数 满足： 则称 为向量x的范数或模 （范数） （范数） ( ) 非负性： 当且仅当x； ( ) 齐次性：对任意的实数a 有 ； ( )三角不等式：对任意的向量 有 2.3 矩阵的条件数与方程组的性态 2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE / Norm of Vector and Matrix / 定理2.3.1 定理2.3.2 （等价性定理）设 以及 是 上 的两种向量范数，则存在常数 使得 对任何 成立 （p范数） （ 范数） (连续性定理)设 是 的某种范数，则 是分量 的连续函数 2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 定义2.3.2 对任意的矩阵 若对应一个非负的实值函 数 满足： 则称 为矩阵A的范数或模 （1）非负性： 当且仅当A； （2）齐次性：对任意的实数 有 ； （3）三角不等式：对任意的矩阵 有 （4）对任意的 有 进一步，若对给定的矩阵范数 ，它与某 个向量范数 满足条件： （5） 对任意 成立，则称 矩阵范数 与向量范数 相容 2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE （F范数） （列范数或1范数） 设 常用的矩阵范数有： （行范数或 范数） （谱范数或范数） 这四种矩阵范数满足 矩阵范数定义的前四 条他们与向量范数有 下列相容关系: 2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 定理2.3.3 扰动方程的误差界 矩阵范数 ， ， 分别是向量 范数 ， ， 的从属范数 对线性方程组 , , 则有 , 但是 , 于是有 , 则有 2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 矩阵的条件数与方程组的性态 定义2.3.4 设是n阶非奇异矩阵，称数 为矩阵的条件数，其中 为 中的某种 矩阵范数 当 时,有 2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 常用的条件数有： 矩阵的条件数具有下列性质 如果为实对称正定矩阵，则 （）对任意的非奇异矩阵 有 （）对任意的非奇异矩阵 及 ， 有 （）对任意的正定矩阵，有 （）设为非奇异矩阵，为正交矩阵，则 2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 矩阵的条件数与方程组的性态： 矩阵的条件数是线性方程组 的解对系数矩阵A及 右端项 b中有微小扰动时敏感性能的一种度量. 例 n阶希尔伯特(Hilbert)矩阵 其条件数为 定义 对线性代数方程组 ,如果系数矩阵A非奇异, 且条件数Cond(A)很大,则称 是病态方程组,或称 A为病态矩阵;如果条件数Cond(A)相对较小,则称 是