§P155.3正定二次型与对称正定矩阵.ppt

5.3.1、正(负)定二次型的概念 5.3 正定二次型与对称正定矩阵 由定义可知，正定矩阵必是半正定矩阵，但是 半正定矩阵不一定是正定矩阵。 1 为正定二次型 为负定二次型 例如 一个二次型既不是半正定的，也不是半负正定 的，则称是不定的二次型。 为半正定二次型。 为半负定二次型。 为不定二次型。 2 定理1 非退化线线性变换变换 不改变变二次型的正定性， 证证明：设设A是正定的， 与定理1等价的有 定理2 合同变换不改变对称矩阵的正定性， 3 5.3.2、正(负)定二次型的判别 定理3 设设n元实实二次型 的秩为为r，正惯惯性指标为标为 p, 负惯负惯 性指标为标为 q， 则则二次型为为 (1) 正定的充要条件是p=n, (2) 负负定的充要条件是q=n, (3) 不定的充要条件是0prn, 0q 4 定理4 设设A是n阶对阶对 称矩阵阵，则则有 (1) A是正定的充要条件是A的特征值值全是正数。 (2) A是正定的充要条件是A与单单位阵阵合同， (3) A是正定的，则则|A|0 5 定理5 对对称矩阵阵A为为正定的充分必要条件是：A的 各阶阶主子式为为正，即 对对称矩阵阵A 为负为负 定的充分必要条件是：奇数 阶阶主子式为负为负 ，而偶数阶阶主子式为为正，即 6 设设二次型 是正定的，对对每个k，1kn,令 证明 必要性： 7 定理6 设设B是mn矩阵阵，则则BTB是对对称半正定矩 阵阵。如果B的秩是n，那末BTB还还是正定矩阵阵。 如果B的秩是n，即B的列向量线线性无关，因此当 X0时时，必定有Y=BX0，从而有 所以这时这时 BTB是正定矩阵阵。 证明：由(BTB)T=BT(BT)T=BTB,可见BTB是对称矩阵。 所以BTB是半正定矩阵。 8 正定矩阵阵具有以下一些简单简单 性质质 9 例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的. 10 例2 判别二次型 是否正定. 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法. 故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵， 11 例3 判别二次型 的正定性. 解 12 例4 设设矩阵阵 判断矩阵阵A是否为为正定，是否为负为负 定? 解 取向量 13 所以A不是正定的。 14 例5 判别别二次型 解 二次型的对应对应 矩阵为阵为 的正定性. 15 A和2A具有相同的正定性，故判定2A的正定性即可。 16 2A的全部顺顺序主子式都大于0. A正定，f正定. 17 例6 判断n阶阶(n2)矩阵阵A是否是正定阵阵. 18 解法1 顺顺序主子式： 正定 19 解法2 求A的特征值值. 得A的特征值为值为 全大于零. 故A正定. 解法3 见见p233例5.3.2 20 例7 设设A,B是n阶实对阶实对 称阵阵，其中A正定, 试证试证 当 实实数t充分大时时，tA+B也正定. 仍是对对称阵阵，故存在正交阵阵R， 证 由A正定，存在可逆阵Q使A=QTQ， 即(QT)-1 AQ-1= (Q-1)T AQ-1=E， 令P=Q-1，则有PTAP=E. 21 使 其中是的特征值值. 22 当时时， 全大于零， 正定，从而正定。这时 23 24 2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法. 5.3.4、小结 1