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大学物理实验理论 1.1 大学物理实验开设的重要性 大学物理实验是理工科学生进行科学基础训练的重要实践 环节。是学习和从事科学实验的起步，其目的是学习获得基 本的实验知识，在实验方法，实验技能和实验数据处理等方 面受到较为系统和严格的训练，培养学生严肃认真的科学态 度和实事求是的科学精神，提高学生的科学素养。 第一章 绪论 1.2 大学物理实验课程的基本教学环节 第一，实验前的预习。 第二，实验中的操作。 第三，实验后的报告。 1.3 如何学好大学物理实验课 第一，掌握基本的实验方法和测量技术. 第二，培养良好的实验习惯. 第三，养成善于分析的习惯. 第四，握好每个实验的重点. 第五，注意创新能力的培养. *3 一、实验时间安排： 二、实验轮换顺序： 三、实验地点： 四号教学楼三楼大学物理实验中心（4114；4305；4312； 4314,4721） 磁场描绘, 金属杨氏模量，十一线电位差计，电桥测电阻， 电位差计测电阻，非平衡电桥，霍尔元件参数测定 第二章 误差与不确定度 本章要点： u误差的概念与表示方法 u随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方 法 u测量不确定度的概念和评定方法 u测量数据处理的方法 本章是测量的基本理论，搞测量就得与误差打交道 。 u误差的合成与分配 测量 是人类认识和改造世界的一种重要手段。 对客观事物的认识过程中，需要进行 定性分析 定量研究，定量就需要进行测量。 测量 是通过实验方法对客观事物取得定量数据 的过程。 未来自动测试系统结构 图10.22 LXI与现有仪器组成混合系统 2.1 误差的概念与表示方法 误差=测量值-真值 例如，在电压测量中，电压真值5V，测得的电压为5.3V，则 误差= 5.3V - 5V = +0.3V 问题：5V真值怎么知道的？ 真值是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。 2.1.1 测量误差 例如：现在是什么时间？ 能准确地报出北京时刻吗？ 1.误差的概念 在通用计量术语及定义（JJF1001-1998）中 ，量的真值 true valueof quantity 是“与给定的特定量的定义一致的值。” 并注明： 量的真值只有通过完善的测量才有可能获得； 真值按其本性是不确定的； 与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。 真值是一个理想的概念，真值虽然是客观存在，但却又难 以获得。因为自然界任何物体都处于永恒的运动中，一个 量在不同时间、空间都会发生变化，从而有不同的真值。 故真值应是指在瞬间条件下的值，一般来说是无法通过完 善的测量来获得。 例如：某个5号电池，标称电压1.5v，真值是多少？- 很难确定！ 实际上对“真值”的应用通常是用以下三种办法： 真值可由理论（或定义）给出 例1：三角形内角和为180度 由国际计量统一定义给出（例如秒的定义为铯原 子能级跃迁9192631770个周期的持续时间为1秒）。 1s=9192631770周期 =31+121+29+ =181 用量角器分别量得三内角为： + 误差=181-180=1 例2：秒的定义 用“约定真值” 代替“真值” 用“不确定度” 评定测量结果 实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际 值作为真值使用。 “实际值”“约定真值”。 逆向思维，回避真值，研究不能确定的程度。例如用卷皮尺 量长度，不能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量， 不能确定的范围在微米量级。 2.基本术语 (1)测量仪器的示值-测量仪器所给出的量的值。 也称测量值、测得值。 尽量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度10 mV 只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为1级表（准确度A 被测电池电压 x=B+A=9+0.1=9.1V 测量误差由式（2.42）可求得： =0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2% 可见，采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差，而测试仪表误 差的影响被大大削弱。本例说明，用误差为5的电压表进行测量，可得0.2% 的测量精确度。 应当指出，在现代智能仪器中，可以利用微处理器的计算控制功能，消 弱或消除仪器的系统误差。利用微处理器消弱系差的方法很多，如直流零位 校准、自动校准、相对测量等，可参阅有关的课程。 待测标准（固定） A B x 9V 0.1V V 图2.17 微差法测量 例2.15 2.3.4 重复性测量结果的数据处理（重点内容：是不确定度计算基础） 当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误 差和粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据 进行处理。 1)对测量值进行修正，列出测量值xi 的数据表 2)计算算术平均值 3)列出残差 4)按贝塞尔公式计算标准差的估值 5)按莱特准则 ，或格拉布斯准则 粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算 ，检查和剔除 和s，再判别 直到无粗大误差； 6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量； 7)算术平均值标准差的估计值 8)写出最后结果的表达式，即 式中k为包含因子。 2.4 误差的合成与分配 研究： 先讲合成： 例： PIU U和I如何影响 P ？ I=U/R U和R如何影响 I ？ 方法：推导一个普遍适用的公式。 分项误差 合成 分配 总合误差 只要某项误差与若干分项有关，这项误差就叫 总合误差，各分项的误差叫分项误差或部分误差。 2.4.1 测量误差的合成 1 误差传递公式（传播公式） 设 若在 附近各阶偏导数存在，则可把y展为泰勒级数 (“0”点，表示真值、起始点) 若用 分别表示x1及 x2分项的误差，由于 的中高阶小量可以略去，则总合的误差为 ，则泰勒级数 同理，当总合y由m个分项合成时，可得 即 绝对误差的传递公式 （2.43） 这是绝对误差的传递公式。 例 方案1方案2 方案3 解：方案1：用公式PIU 由式（2.45）可得 (CU)=CU 则算得功率的相对误差为 P=IU =U2/R =I2R 方案2：用公式 P=U2R 由式（2.45）可得 则 求导 （ 1/x ）=-1/x2 方案3：用公式 PI2R 由式（2.45）可得 则 式（2.43）是求绝对误差的公式，在已知各分项误差的相对误 差，求总的相对误差是不方便的。实际上只要对式（2.43）稍 加变换就可以得到求相对误差的公式将式（2.43）两端同除 以y，同时考虑y为x1=x10，x2=x20时的函数值f则 由数学中用对数求导数的方法 用对数求导数 则可求出相对误差 相对误差传递公式 (2.44） 方案2： 用相对误差传递公式 lnP=2lnU-lnR 若 的函数关系为和、差关系时， 常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方 关系时，常先求总合的相对误差比较方便。 y=x1+x2-x3 用哪种方法求相对误差方便？ 2 系统误差的合成： 由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。由式（2.43） 一般说来各分项误差x由系统误差及随机误差构成，即 （2.45） 若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差y可由各分项系统误差合成 （2.46） 若1，2，m为确定性系统误差，则可由上式直接求出总合的系统误差。 对于各分项系统误差不能确定的情况，我们将在后面讨论。 3.随机误差的合成 式（2.47）已给出 若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差为 上式随机误差的影响，不能用一个个随机误差来计算，应用方 差或 标准差表征： 比较式（2.46）及式（2.47）可重要结论： （2.47） 确定性误差是按代数形式总合： 随机误差是按几何形式总合： 2.4.2 测量误差的分配 分项误差 总合误差 合成 分配 这种制定误差分配方案的工作是经常会遇到的，下面介绍一些常见的误 差分配原则。 1.等准确度分配 设 =0 1=2 副边总电压U=880V 则，测量允许的最大总误差为 = U （2）=17. 6 V 3 1 2 50HZ 220V U4 5 图2.19 误差的分配（教材p47） U 1 U2 440v 440v 880v 例：用量程为500V交流电压表测副 边总电压，要求相对误差小于2% ，问应选几级电压表？ 等准确度分配是指分配给 各分项的误差彼此相同。 用引入相对误差为 的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为Um， 则可能产生的最大绝对误差为 ，这个数值应不大于每个 副圈分配到的测量误差Ui，即要求 可见选用1.5级（1.5%）的电压表能满足测量要求。 可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压 值基本相同，可根据等准确度分配原则分配误差，则： 2. 等作用分配 等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等， 但它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即 ： 由式（2.48）及式（2.49）可求出应分配各分项的误差为 （2.52） （2.53） 2.4.3 最佳测量方案的选择 对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高（即误差的总合越小）越好。 所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到 （2.54） （2.55） 当然，若能使上述各式中每一项都能达到最小，总误差就会最小。有时通 过选择合适的测量点能满足这一要求，但是通常各分项误差 是由一些客观条件限定的，所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件， 了解各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合 成误差最小者作为现有条件下的“最佳”方案。 常用选择方法有： 1.函数形式的选择 当有多种间接测量方案时，各方案的函数表示式不同，应选其中总合误差 最小的函数形式。 前述电阻功率例中，当 ， 问采用哪种测量方案较好？ 方案1：P=UI 方案2 P= U2R 方案3：P=I2R 可见，在题中给定的各分项误差条件下，应选择第一方案PUI. 2.测量点的选择 在（满度）相对误差中曾指出，用指针式三用表的电压档、电流档测量 时，应正确选择量程，使测值靠近满度，即测量点要选在满量程附近，测量 结果的相对误差小。对电阻档，测量点应选择何处呢？现介绍一般性方法。 E Rx 图2.19 电阻测量原理 Ri 则 由误差合成公式（2.43），可求得绝对误差为 则相对误差表达式为 令 求极小值 可求得 结论：指针处于中央位置时，测量电阻的相对误差最小。 电阻量程 以上介绍的测量误差理论虽然很全面很系统，但却存在 两个严重的困惑问题： 逻辑概念上错位 误差评定方法不统一 例如：随机误差通是用实验标准差s、2s、3s表示？ 系统误差还没有一套通用有效的方法 已知被测系统的随机误差和系统误差如何求总误差时： 有的是分别给出；有的算术相加；有的平方相加。 x =xA0 （2.1） 以一个已知量求解两个未知量是不成立的方程式，逻辑前提条 件不成立。 例如，测量地球到月亮距离的误差是多少？ 算误差时，要为获得约定真值去找高档级仪表 2.5 测量不确定度 2.5.1 测量不确定度的概念 由于真值难以确定，测量结果总是带有不确定性。 在国外，推出了以“不确定度”作为测量误差的数字指标， 表示由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的度，是测量 理论中很重要的一个新概念。 1993年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、 国际法制计量组织等7个国际组织联合制定发布了Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement（ GUM，测量不确定度表示指南）。 我国计量和测量领域经过多年的深入研究和探讨，于1999年 发布了适合我国国情的测量不确定度评定与表示计量技术 规范（JJF10591999）这个规范原则上等同采用了GUM的 基本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法律 依据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨。 1.不确定度的定义和分类 在测量不确定度评定与表示（JJF1059-1999）中，不确 定度（uncertainty）的定义为 ：“表征合理地赋予被测量之 值的分散性，与测量结果相联系的参数。 ”。 这种测量不确定度的定义表明： Y= yU 其中，y是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值： U是测量不确定度，在UGM中规定，这个参数可以是标准偏差s 或是s的倍数ks；也可以是具有某置信概率P（例如P= 95或P= 99 ）下置信区间的半宽。 表征合理地赋予被测量之值的分散性，其置信区间是 ： 。见下图： 是与测量结果相关的参数： 定义要点： 其置信区间是： 。它与真值没有直接关系，但它 将真值包含在区间之中了。注意：不确定度U恒为正值。 前面加号只是标明区间的取向，经常用数学符号+， 或者号与U 相联结。 不确定度 标准不确定度 扩展(展伸)不确定度（扩大uC的置信区间，提高置信概率） A类标准不确定度uA（由多次测值求标准差获得） B类标准不确定度uB（查已有信息求得） 合成标准不确定度uC（A、B类的合成；多个不确定度合成 ） 不确定度分类： 应当指出，在不确定度的合成中，有时为简化运算也引用 相对不确定度的形式（类似相对误差的概念）。 2. 测量不确定度的来源 测量不确定度来源于以下因素： 1）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能 代表所定义的被测量。 2）测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。 3）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。 4）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常 数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。 5）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。 3.测量不确定度与误差的关系 它们是误差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。 对比项目误 差不确定度 含义反映测量结果偏离真值的程度反映测量结果的分散程度 符号非正即负恒为正值 分类随机误差、系统误差、粗大误差A类评定和B类评定 表示符号符号较多、且无法规定规定用u、uc，U 表示 合成方式代数和或均方根均方根 主客观性客观存在，不以人的认识程度改 变 与人们对被测量及测量过程的认识有关 与真值的关系有关无关 表2.9 误差与不确定度的区别 2.5.2 标准不确定度的评定 用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u表示。测量不确定度 所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用ui 表示，其 评定方法如下： 1. A类标准不确定度的评定 A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u的求法等同于由系列观测 值获得的标准差，即A类标准不确定度就等于标准差，即 标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下： 1）对被测量X进行n次测量，得测值x1，x2，xn ； 2）求算术平均值 和剩余误差 3）用贝塞尔公式求标准差的估值: （2.56） 4）求算术平均值标准差的估值: （2.57） 5）则A类标准不确定度为: （2.58） 这里需要说明的是，观测次数n应充分多，才能使A类不确定度的评定可靠， 一般认为n应大于5。但也要视实际情况而定，当A类不确定度分量对合成 标准不确定度的贡献较大时，n不宜太小；反之，n小些关系也不大。 除了这种用标准差计算的A类不确定度之外，其他都属于B类不确定度。 2.B类标准不确定度的评定 B类评定不用统计分析法，而是要从 资料查出 厂商手册 有关数据 获得信息 然后求出其分布的估计（概率分布假设）和置信区间（要有一定的经验及 对一般知识有透彻的了解。） 即B类标准不确定度： 包含因子 区间半宽 （2.59） 包含因子k（或称覆盖因子、置信因子），可查表2.10。 k 一般在2-3范围内 当估计值x取自有关资料，所给出的测量不确定度Ux为标准差的k倍 时，其标准不确定度为：uB=Ux/k 当知区间半宽a 后，要换算为标准差形式， 采用不确定度的意义 1)只要根据实际条件进行测量，得出现有条件下的测量不确定 度，具有可操作性。不必求取真值（约定真值），不用找高一档 次的仪器测得结果当作约定真值，再来计算误差。 2)体现各自的测量水平。例如，通常学校学生实验室用三位半 数字电压表测量直流电压，只能做到毫伏量级的不确定度；在学 校研究室里有六位半数字电压表，就可做到微伏量级的不确定度 。当有八位半数字电压表，还可做到纳伏量级的不确定度。 3)通过对具体项目测量不确定度的分析与评定，能明确从什么 地方采取措施可以减小不确定度，从而有利于提高该项目的质量 。 4)对测量者不会提不合理的要求。不能要求一般检测实验室的 测量不确定度达到计量校准实验室测量不确定度的水平。 5)使测量结果有了国际统一的评定与表示方法，具有可比性， 既符合国家标准又与国际接规。 2.6 测量数据处理 实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所 需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验 公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知 识和表示方法。 处理方式 表达式（有效数字、测量值、不确定度） 曲线图形 经验公式 2.6.1 有效数字的处理 1 有效数字 定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有 误差的那位存疑数为止的所有各位数字。 例1 用10v指针式电压表测得 U= 5. 6 4 V 三位有效数字 例2 0.0038K=3.8 两位有效数字 6 5 例3 0.026m 两位有效数字 0.0260m 三位有效数字 最末位有效数字常称存疑数，它主要由仪表所能达到的精度决定。例如用 10V量程指针式电压表测得电压5.64V，这是三位有效数字组成的数据， 这三位数中前二位是可从刻度上准确读出的，而最后一位是估读的，是含 有误差的近似数，常称为存疑数。 存疑数还有一种含义，它可能发生末位的半个单位(0.5个单位)变化。 例如， 5.640.005 5.645 5.635 为何要从最左边一位非零数字算起？因为有效数字左侧的零可以通 过变更单位或移动小数点来消除。 测量结果应保留的位数原则是：最末位是不可靠的，倒第二数字是 可靠的。最末位有效数字主要由测量精度决定。 有效数字与准确度的关系 数据 误差 准确到 18.4 k 0.1 k 100 18.40 k 0.01 k 10 18.400 k 0.001 k 1 有效数字的位数应取得与不确定度相一致 当电压表不确定度为：0.01v 数据应写为 a 2.186v b 2.18v c 2.1v 哪个对？ 有误差的单位量级应与测量数据相配合 a 7900 kHz 当频率误差为：1kHz 应写为 b 7.900 MHz 哪个对？ c 7900 000 Hz d 7.9 MHz 2 数字的舍入（修约）规则 对五入可能带来误差 未使尾数为偶数，不便于除尽 经典的“四舍五入”的缺点： 测量中用：四舍六入五凑偶法则 规则 小于5舍 大于5入 等于5取偶 5后有数，舍5入1 5后无数或为零时 5前是奇数，舍5入1 5前是偶数，舍5不进 17.99518.00 14.985014.98 3.624563.625 三例都取4位有效数字 3. 近似运算规则 在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算 的数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。 1)在近似数加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准， 其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据 小数位相同。 例2.24 求2643.0 987.7十4.187 0.2354= ？ 2643.0 987.7 4.19 0.24 3635.133635.1 2)在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准， 其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果 应与有效位数最少的数据位数相同。 2.6.2 测量数据的表示方法 本节简要地介绍图示曲线和经验公式的表示方法。 1. 测量结果的曲线表示 把测量结果绘成曲线，可以直观形象地表示数据的变化规律，例如， 三极管的输出特性曲线，放大器的幅频特性曲线等。 但由于测量结果中存在误差，数据有一定的离散性，难以作出一条光滑 连续的曲线。需要采用一些专门的方法。这里介绍分组平均作图法。 1)作图要点 首先要选好坐标。一般宜选用直角坐标。有时要用极坐标。如果自变量的 范围很宽，可以选用对数坐标。坐标的比例可以根据需要确定，二者分度可以 不同，作曲线图应使用坐标纸。注意坐标的幅面以及数据点的标注方式。 曲线急剧变化的地方测量数据应多取一些。 注意曲线的修匀。 2)用分组平均法修匀曲线 将各数据点连成光滑曲线的过程叫曲线的修匀。由于测量误差的存在， 不同的人员所作的曲线可能差异较大。 为提高作图精度，可用分组平均法进行曲线修匀。这种方法是将相邻 的24个数据分为一组，然后估计出各组的几何重心，再用光滑的曲线将 重心点连接起来，用分组平均法进行曲线修匀的方法如图2.21所示。由于 这种方法减少了随机误差影响。从而使曲线较为符合实际。 图2.21 用分组平均法修均曲线 2.经验公式的确定 经验公式，也称回归方程，是在实验测量的基础上归纳出来的，可在 一定的条件下使用。这种经验公式以数学表达式的形式客观地反映事物的内在 规律性，形式紧凑，且便于从理论上作一步分析研究，对认识自然界量与量 之间关系有着重要意义 。 1)最小二乘法 最小二乘法的原理指出：在具有同一精度的测量值中，最佳值就是能使各 的平方和为最小的那个值，即 测量残差 测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出。 最小。或者说， 2）回归分析法 回归分析法是处理多个变量之间相互关系的一种常用的数理统计方法。 回归分析法包括两个方面的任务：一是根据测量数据确定函数形式，即回 归方程的类型；二是确定方程中的参数。确定回归方程的类型，通常需要 结合专业知识和实际情况来选择。 电子测量中，经常用到单变量的线性回归（例如y=bx+a），这里仅举 一元线性回归的例子，即处理两个变量x和