直线与平面的夹角.ppt

3.2 3.2. 3 直线 与平 面的 夹角 理解教材新知 把握热 点考向 应用创新演练 考点一 考点二 第 三 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 考点三 返回 返回 32.3 直线线与平面的夹夹角 返回 如图图在正方体ABCDA1B1C1D1中 问题问题 1：AC是A1C在平面ABCD内的射 影吗吗？ 提示：因为为AA1平面ABCD，所以AC 是A1C在平面ABCD内的射影 返回 问题问题 3：由问题问题 2你能得到什么结论结论 ？ 提示：斜线线与射影的夹夹角小于斜线线与平面内其他 直线线的夹夹角 提示：当为锐角时90，当为钝角时， 90. 问题问题 2：你能比较较A1CA与A1CB的大小吗吗？ 返回 1直线线与平面的夹夹角 (1)如果一条直线线与一个平面垂直，这这条直线线与平面 的夹夹角为为 ； (2)如果一条直线线与一个平面平行或在平面内，这这条 直线线与平面的夹夹角为为 ； (3)斜线线和它在平面内的 所成的角叫做斜线线和 平面所成的角(或斜线线和平面的夹夹角)； (4)直线线与平面的夹夹角的范围围是 0 射影 返回 2最小角定理 (1)线线线线 角、线线面角的关系式： 如图图，OB是OA在平面内的射影， OM，是OA与OM所成的角， 1是OA与OB所成的角， 2是OB与OM所成的角，则则cos cos 1cos 2 返回 它在平面内的射影 返回 1斜线线和它在平面内的射影所成的角是锐锐角 2cos cos 1cos 2中，1，2，分别别是斜线线 与射影，射影与平面内的直线线，斜线线与平面内的直线线 所成的角，1，2. 返回 返回 例1 在长长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3 ，AA15，试试求B1D1与面A1BCD1所成角的正弦值值 思路点拨拨 作出B1点在平面A1BCD1内的射影，从而 得到B1D1在平面A1BCD1内的射影 返回 精解详详析 作B1EA1B，垂足为为E， 又因为为A1D1平面ABB1A1，A1D1B1E. 由B1EA1B及B1EA1D1得B1E面 A1BCD1， 所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1内 的射影， 从而B1D1E就是D1B1与面A1BCD1所成的角 返回 返回 一点通 作直线线与平面夹夹角的一般方法：在直 线线上找一点，通过这过这 个点作平面的垂线线，从而确定射 影，找到要求的角其中关键键是作平面的垂线线，此方 法简简称为为“一作，二证证，三计计算” 返回 1.如图图，在四棱锥锥PABCD中，底面为为 直角梯形，ADBC，BAD90， PA底面ABCD，且PAADAB 2BC，M、N分别为别为 PC、PB的中点 (1)求证证：PBDM； (2)求BD与平面ADMN所成的角 返回 解：(1)证证明：N是PB的中点，PAAB， ANPB. PA底面ABCD， PAAD， 又BAD90， AD面PAB，ADPB. PB平面ADMN. DM平面ADMN，PBDM. 返回 返回 2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为别为 AA1、AB 的中点，求EF和平面ACC1A1夹夹角的大小 返回 返回 例2 BOC在平面内，OA是平面的一条斜线线， 若AOBAOC60，OAOBOCa，BCa，求 OA与平面所成的角 思路点拨拨 根据定义义或cos cos 1cos 2求解 返回 返回 返回 返回 一点通 求线线面角关键键是确定斜线线在平面上射影的 位置，只有确定了射影，才能将空间间角转转化为为平面角在 本例中，也可以直接作AHBC于H，进进而证证明AH平面 ，从而证证明H是点A在平面内的射影解法二则则灵活应应用 公式cos cos 1cos 2求线线面角，也是常用的方法 返回 答案：C 返回 4.如图图所示，四棱锥锥PABCD中，ABCD 是正方形，PD平面ABCD.若PBC 60，求直线线PB与平面ABCD所成的角. 返回 返回 返回 返回 返回 返回 5.在正方体ABCDA1B1C1D1中(如图图)， M、N分别别是棱B1C1、AD的中点，求 直线线AD与平面BMD1N所成角的余弦值值 返回 返回 返回 6.如图图，在棱长为长为 1的正方体ABCD A1B1C1D1中，P是侧侧棱CC1上的一点， CPm，试试确定m，使直线线AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为值为 3 . 返回 返回 返回 求直线线与平面所成角的方法： (1)定义义法：找(或作)出直线线在平面内的射影，得到 线线面角，通过过解三角形进进行计计算 (2)公式