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数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。（1） 分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。（2） 给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。解答：（1） 分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。又因为形状一定时一般有sw2/3,故商品的价格可表示为C=+2/3+（，为大于0的常数）。（2） 单位重量价格c=Cw=+-1/3+-1,显然c是w的减函数。说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=q0+t,为增长率。又设单位时间的销售量为x=a-bp(p为价格)。今将销售期分为0tT/2和T/2tT两段，每段的价格固定，记为p1,p2.求p1,p2的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为Q0,再求p1,p2的最优值。解答： 由题意得：总利润为U（p1,p2）=0T/2p1-q(t)(a-bp1)dt+T2Tp2-qt(a-bp2)dt=T/2a-bp1-bp1-q0+T4+a-bp2-bp2-(q0+3T/4)由UP1=0，UP2=0，可得最优价格p1=12ba+b(q0+T4),p2=12ba+b(q0+3T4)设总销量为Q0，Q0=0T2a-bp1dt+T2Ta-bp2dt=aT-bT2(p1+p2)在此约束条件下U（p1,p2）的最大值点为p1=ab-Q0bT-T8,p2=ab-Q0bT+T8题目33.某商店要订购一批商品零售，设购进价c1,售出c2,订购费c0(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为c3(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制？解答： 设订购量为u，则平均利润为Ju=c20urprdr+uuprdr-c0+c1u+c30u(u-r)p(r)dr=c2-c1u-c0-(c2+c3)0u(u-r)p(r)dru的最优值u*满足0u*prdr=c2-c1c2+c3最大利润为Ju*=(c2+c3)0u*rprdr-c0.为使这个利润为正值，应有c00，n0=n0得nt=n0e-t.每尾鱼重w(t)满足w=w2/3-，不妨近似设w(0)=0，得wt=3(1-e-t/3)3.（2）设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E，则tT时有n=-(+E)n，因此得nt=n0e-Te-(+E)(t-T)，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t)，每尾鱼重w(t)，所以从T开始的鱼捕捞量是y=Tw(t)En(t)dt=0()31-e-(+T)/33En0e-Te-(+E)d，问题为求，E使y最大，可用数值法求解。题目99.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v,s, 的关系。解答：设fp,v,s,=0,量纲表达式：p=L2MT-3,v=LT-1,s=L2,=L-3M，解得F=0，=-1v3s，故p=v3s(是无量纲常数)。题目1010.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。解答：植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作x1t,x2t,x3t.若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为x1=x1r1-1x2,x2=x2-r2+2x1-x3,x3=x3-r3+3x2平衡点为P1（0，0,0），P2(r22,r11,0).题目1111.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入x1（千元），风险偏好度x2和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。表2序号123456789y1966325284126144949266x166.2940.9672.99645.0157.20426.85238.12235.8475.796x27510645469序号101112131415161718y4910598771456245133133x137.4154.3846.18646.1330.36639.0679.3852.76655.916x2527435186解答：,最终的回归方程为y=-62.3489+0.8396x1+5.6846x2+0.0371x12,且R2=0.9996,F=11070.2944,p5000，x500,建立线性回归模型y=0+1x+2x-500D+，得到参数参数估计值参考置信区间06.16215.0368,7.28741-0.0047-0.0074,-0.00202-0.0036-0.0076,0.0003当生产批量小于500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047元；当生产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047+0.0036=0.0083元。从散点图看，也可以拟合x的二次回归模型y=0+1x+2x2+.题目1313.在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾客发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，30%，每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折扣券购物的人数和比例数据如表4.表4折扣比例/%持折扣券人数使用折扣券人数使用折扣券人数比例5200320.1610200510.25515200700.35202001030.515302001480.74（1） 对使用折扣券人数比例先做logit变换，再对使用折扣券人数比例与折扣比例，建立普通的一元线性回归模型。（2） 直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例与折扣比例的logit模型。与（1）作比较，并估计若想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为多大？解答：（1） 记x为折扣比例，（x）为使用折扣券人数比例，做logit变换i*=ln(i1-i),普通的一元线性回归模型为i*=0+1xi+i,这里没有给出误差项的形成，利用MATLAB统计工具箱中的命令regress，可算出*=-2.1860+0.1086x，通过检验，高度显著。（2） 利用glmfit命令可以得到logitx=lnx1-x=-2.1855+0.1087x,拟合程度也非常好。（1）中模型表面上看起来很好，其实在做估计和检验时，需要对误差项作较强的限制，而logit回归克服了这一缺陷。又由ln0.251-0.25=-2.1855+0.1087x,解得x=10，故想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为10%。题目1414.“田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。”三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。（1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考合适可以建模为一个博弈问题。何时只是一个简单的单人决策问题。（2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。解答：（1） 这个故事中还隐含了以下信息：田忌的每一等级的马都不如齐王的同等级的马，但田忌的上等马胜过齐王的中等马，田忌的中等马胜过齐王的下等马。每人每一等级的马只允许出场一次(例如每人每一等级的马只有一匹，且每匹马只允许出场一次)。此外，1) 如果齐王的马的出场顺序总是固定的（或者出场顺序在比赛开始前就已经决定了且不可改变），而田忌知道这一点，那么齐王的行动就已经是完全给定了，这时只有田忌需要决策，是一个简单的单决策者的决策问题，可以用一般的优化方法进行建模和求解。不妨假设齐王的马的出场顺序为（上、中、下），则田忌最优的应对行动就是（下、上、中），这与孙膑给出的战略是一致的。2) 如果齐王的马的出场顺序并不总是固定的，每场比赛时齐王首先决定自己派哪个等级的马出场，然后田忌才决定派自己的哪个等级的马与之对抗，是一个完全信息动态博弈。田忌必须见机行事，根据齐王出哪种马，决定自己出哪种马（孙膑给出的战略仍是田忌的最优战略）3) 比赛开始前双方同时决定马的出场顺序并且以后不可改变。假设齐王和田忌在决策时所拥有的信息是一样的，这时就构成一个完全信息静态博弈。（2） 双方的行动空间为（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下、上、中），（下、中、上）。不存在纯战略纳什均衡。混合战略纳什均衡为：双方各以1/6概率选择6个行动之一。题目1515.我们经常见到报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？解答：博弈参与人集合N=1,2，n，每人的行动集合为A=0,1，其中1为干预，0为不干预。若有人出面干预（这是参与人都希望的），设对每个参与人的价值为v（如由于不文明行为或违法行为得到阻止的心理安慰等）；若自己出面干预（这是参与人不希望的），设对每个参与人的成本为c（如遭到报复等）。可设vc0.假设所有参与人完全相同，每个参与人都希望最大化自己的效用v-c。如果没有人干预，每个人的效用均为0.对每个参与人来说，如果其他人不出面干预，自己应该出面干预；如果有人出面干预，自己就不用出面干预了。因此，这个博弈存在纯战略纳什均衡：有且只有一个参与人出面干预，其他人不出面干预，从所有参与人整体上看这也是最优的方案。但是，如果参与人之间没有信息的交流与行动上的合作，这一均衡是很难发生的，很可能要么没有人出面干预，要么有多人出面干预，这都不是纳什均衡。对这个问题，在不存在合作的情况下，假设所有参与人采用相同的战略是比较合理的，这样的战略组合如果构成纳什均衡，则称为对称纳什均衡。显然，这个博弈不存在纯战略对称纳什均衡，所以考虑混合战略对称纳什均衡：每个人的战略为以概率p采取行动1（以概率1-p采取行动0）。对一个参与者来说： 如果他出面干预（采取行动1），其效用为v-c。 如果他不出面干预（采取行动0），有两种可能：其他人也都不出面干预（可能性为（1-p）n-1），其效用为0；其他人至少有一人出面干预（可能性为1-（1-p）n-1），其效用为v。因此他不出面干预时的期望效用为v（1-（1-p）n-1）。当出面干预与不出面干预的效用相等时，他就没有动机改变他的战略了。所以，纳什均衡满足的条件可以很简单的从等式v-c=v（1-（1-p）n-1）得到，即p=1-(c/v)1/(n-1).题目1616.同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城”等。人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：如果他们大致均匀的分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？请你以下面的问题为例，作出适当的假设，进行建模分析：某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？解答：将海滨浴场的海滩近似看成一条线段，售货亭位置的选择空间记为0,1区间。设两售货亭的位置分别位于x1,x2(0x1x21)，其中点为m=(x1+x2)/2.假设顾客是均匀分布的。则售货亭1会吸引m左侧的顾客，售货亭2会吸引m右侧的顾客。于是售货亭1、2的效用（份额）分别是：U1x1,x2=x1+x22；U2x1,x2=1-x1+x22。容易证明唯一的纯战略纳什均衡为x1*,x2*=1/2.即双方“扎堆”于区间中点。题目1717.奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案。证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。解答：设三派的席位分别为n1,n2,n3,记n1+n2+n3=n（奇数）。任一派不能操纵表决，即n1,n2,n3n-12，即任两派的席位过半数。显然三派的权重都是一样的，各占1/3.题目1818.在基因遗传过程中，考虑三种基因类型：优种D（dd），混种H（dr）和劣种R（rr）。对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数。如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。解答：状态定义为i=1D,2H,3，用混种交配时，转移概率矩阵为P=1/21/201/41/21/401/21/2由P20知，马氏链是正则链，稳定状态向量为w=(1/4,1/2,1/4).优种（D）和混种（R）出发的首次平均转移次数分别为4和2.用优种交配时，转移概率矩阵为P=1001/21/20010，i=1(D)是吸收状态，p210，马氏链是吸收链。由M=(I-Q)-1=2021，y=Me=(2,3)T.知由i=2(H),i=3(R)出发，变为i=1(D)的平均转移次数分别为2和3.题目1919.一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。（1）以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给出泛函极值问题。（2）设销售量为常数，求出最优解，并在T很大的情况下给出生产率和贮存量之间的关系。解答：（1） 记时刻t的贮存量x(t),单位时间产量（即生产率）和销售量分别为u(t)和v(t),则 xt=ut-v(t)设预先给定的生产率和贮存量分别为u0和v0，则在时间T内u(t)和x(t)与u0和x0误差的（加权）平方和最小的泛函极值为Jut=0T12ut-u02+22(xt-x0)2dt若设t=0和T=0的贮存量为0，则x0=xT=0化简得Jut=0T12x(t)+vt-u02+2(xt-x0)2dt(2)当销售量vt=v0（常数）时，欧拉方程为x-2x-x0=0解得xt=x0-x01-e-TeT+(eT-1)e-TeT-e-T化简得ut=v0+x0-xt-2x0(1-e-T)eTeT-e-T在T很大的情况下，最后一项可忽略，于是u=v0+(x0-x)即生产率u可以由贮存量x直接确定。题目2020.遭受巨大损失：考虑由于预计全球温度会上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响。特别要对由于冰盖融化在今后50年中每10年对佛罗里达州沿岸，尤其是大城市地区的影响进行建模。试提出适当的应对措施来处理这个问题。对所用数据的仔细讨论是回答本问题的重要组成部分。解答：仅仅北极冰盖融化对海平面的直接影响可能较小，而引起其他冰块融化的间接影响会是决定性的。可以分别对各个冰块提升海平面的影响建模，用常微分方程预测发生改变的速度。对于小的冰盖和冰川用全球平均温度对海平面改变影响的模型，参数为融化对温度的敏感度等，对参数的不同取值计算50年后海平面的升高。对于大冰原考虑受热体积膨胀引起海平面的升高。一种计算结果是50年后升高20-30cm。对佛罗里达州沿岸海平面升高1个单位等价于海沿岸水平损失100个单位。在最坏的情况下，到2058年几乎将损失27m陆地，会失去大多数较小的岛屿及沙滩，许多城市的港口都会遭到损失。讨论对物种和生物多样性、气候、旅游业、食品业及全球变暖的影响。题目2121.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。解答：假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是Sl2，所以饲养食物量wl2.题目2222.一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后。将有15%的保姆自动离职。（1）如果公司不允许解聘保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？（2）如果公司在每个季度结束后允许解聘保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。解答：（1） 设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S1，S2，S3，S4人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为min S1+S2+S3+S4s.t. 65S16000+5x165S27500+5x265S35500+5x365S49000+5x4S1=120+x1S2=0.85S1+x2S3=0.85S2+x3S4=0.85S3+x4x1,x2,x3,x4,S1，S2，S3，S40用LINGO求解并对结果取整。4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0，15,0,59人。上面的模型中没有要求x1,x2,x3,x4,S1，S2，S3，S4取整数，是因为保姆数量较大，可以近似看做实数处理。此外，由于非整数因子0.85的影响，如果要求x1,x2,x3,x4,S1，S2，S3，S4为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远超过实际需要的数量，从而难以找到合理的整数解。由以上结果中约束的松弛（或剩余）的数据知道，春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，可以分别增加1800人日和936人日。（2） 设4个季度开始时公司招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y1,y2,y3,y4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S1，S2，S3，S4人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为 min S1+S2+S3+S4s.t. 65S16000+5x165S27500+5x265S35500+5x365S49000+5x4S1=120+x1S2=0.85S1+x2-y1S3=0.85S2+x3-y2S4=0.85S3+x4-y3x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,S1，S2，S3，S40用LINGO求解并对结果取整得到，第二个季度开始时公司新招聘15人，第二个季度结束时解聘15人；第4个季度开始时新招聘72人。目标函数值为465.1218，比不允许解聘时数量略有减少。题目2323.对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型：（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的。（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。（3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用。解答：设t时刻采用新技术的人数为x(t).(1) 指数模型dxdt=x.(2) Logistic模型dxdt=ax(N-x),N为总人数。(3) 广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有dxdt=(ax+b)(N-x).题目2424.考虑阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。解答：记阻尼摆周期t，摆长l，摆的质量m，重力加速度g，阻力系数k，k=MT-1.设ft,l,m,g,k=0,可得t=rg(kl1/2mg1/2)，做物理模拟的比例模型时，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,t,l, l,m, m,那么只要rr=mm,就有tt=rr.题目2525.某电力公司经营两台发电站，发电站分别位于两个水库上。已知发电站A可以将水库A的1104m3的水转换