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文档简介
2002级量子力学期末考试试题和答案B卷一、(共25分)1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点?(4分) 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态?(6分)3、全同玻色子的波函数有什么特点?并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。(4分)4、在一维情况下,求宇称算符和坐标的共同本征函数。(6分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出时间和能量的测不准关系。(5分)二、(15分)已知厄密算符,满足,且,求1、在A表象中算符、的矩阵表示;2、在A表象中算符的本征值和本征函数;3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、(15分)线性谐振子在时处于状态 ,其中,求1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、(15分)当为一小量时,利用微扰论求矩阵 的本征值至的二次项,本征矢至的一次项。五、(10分)一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数,本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态;简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况;将波函数中坐标变量改变符号,若得到的新函数与原来的波函数相同,则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为:4、宇称算符和坐标的对易关系是:,将其代入测不准关系知,只有当时的状态才可能使和同时具有确定值,由知,波函数满足上述要求,所以是算符和的共同本征函数。5、设和的对易关系,是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值,令 ,则有 ,这个关系式称为测不准关系。时间和能量之间的测不准关系为:二、1、由于,所以算符的本征值是,因为在A表象中,算符的矩阵是对角矩阵,所以,在A表象中算符的矩阵是: 设在A表象中算符的矩阵是,利用得:;由于,所以,;由于是厄密算符,令,(为任意实常数)得在A表象中的矩阵表示式为:2、在A表象中算符的本征方程为:即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即 对有:,对有:所以,在A表象中算符的本征值是,本征函数为和3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵,即三、解:1、的情况:已知线谐振子的能量本征解为: , 当时有:,于是时的波函数可写成:,容易验证它是归一化的波函数,于是时的能量取值几率为:,能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为:2、 时体系波函数显然,哈密顿量为守恒量,它的取值几率和平均值不随时间改变,故时体系能量的取值几率和平均值与的结果完全相同。四、解:将矩阵改写成:能量的零级近似为:,能量的一级修正为:,能量的二级修正为:, ,所以体系近似到二级的能量为:,先求出属于本征值1、2和3的本征函数分别为:,利用波函数的一级修正公式,可求出波函数的一级修正为:,近似到一级的波函数为:,五、解:由玻色子组成
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