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上节内容 洛必达法则 令 取对数 二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章 特点: 一、泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 问题 ： x 的一次多项式 1、如何提高精度 ? 2、如何估计误差 ? 阶的导数 , 求 n 次近似多项式 要求: 1、用高次（n 次）多项式近似表达函数. 2、给出估计误差 的公式. 解决 办法 ： 问题 ： 1. 求 n 次近似多项式要求: 故 令 则 公式 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒( Taylor )中值定理 : 阶的导数 ,时, 有 其中 则当 证明：令 (称为余项) , 则有 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 即 在不需要余项的精确表达式时, 可以证明: 则泰勒公式可写为 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 型余项 . 上式称为n 阶带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式. 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 则有在泰勒公式中若取 则有误差估计式若在公式成立的区间上 由此得近似公式 二、常用的几个初等函数的麦克劳林公式 其中 其中 4 2 2 4 6420246 泰勒多项式逼近 4 2 2 4 6420246 泰勒多项式逼近 类似可得 其中 其中 已知 其中 类似可得 1、利用泰勒公式求极限 例3. 求 解:由于用泰勒公式将分子展到项, 三、泰勒公式的应用 补例. 求 解:由于 用洛必塔法则 不方便 ! 用泰勒公式将分子展到项, 补例. 计算 解: 原式 2、利用泰勒公式证明不等式 补例. 证明 证: 3、利用泰勒公式证明等式 （2010. 5月我校高数竞赛题） 内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当时为麦克劳林公式 . 2. 常用函数的麦克劳林公式 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等. (2) 利用多项式逼近函数 作业 习题3-3 5，7，10（2） 由题设对证: 备用题. 有 且 一点 下式减上式 , 得 令 泰勒 (1685 1731) 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 . 麦克劳林 (1698 1746) 英国数学家, 著作有: 流数论
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