2012届高三二轮复习常考专题复习12平面向量.ppt

1.理解平面向量的概念,两个向量相等的含义,向量的 几何表示. 2.掌握向量的加法、减法的运算,并理解其几何意义; 掌握向量数乘的运算及其意义;理解两个向量共线的 含义;了解向量的线性运算的性质及其含义. 3.了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量 的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的 加法、减法与数乘的运算;理解由坐标表示的平面向 量的共线条件. 学案12 平面向量 4.理解平面向量数量积的含义;了解平面向量的数量 积与向量投影的关系；掌握向量数量积的坐标表示, 会进行平面向量数量积的运算,能用数量积表示两个 向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题及其它一些实际问题. 1.(2009北京)已知向量a、b不共线,c=ka+b(kR), d=a-b,如果cd,那么 ( ) A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 解析 cd,c= d,即ka+b= (a-b). 又a、b不共线， c=-d,c与d反向. D 2.(2009全国)设a、b、c是单位向量,且ab=0, 则(a-c)(b-c)的最小值为 ( ) A.-2 B. C.-1 D. 解析 ab=0,且a,b,c均为单位向量， |a+b|= ,|c|=1. (a-c)(b-c)=ab-(a+b)c+c2. 设a+b与c的夹角为 则(a-c)(b-c)=1-|a+b|c| 故(a-c)(b-c)的最小值为 D 3.(2009重庆)已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则向 量a与b的夹角是 ( ) A. B. C. D. 解析 a(b-a)=ab-a2=2,ab=2+a2=3 cosa,b= a与b的夹角为 C 4.(2009浙江)设向量a,b满足:|a|=3,|b|=4,ab= 0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形,则它的边与半 径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 对于半径为1的圆有一个位置正好是三角形的 内切圆，此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移 或其他的变化，能实现4个交点的情况,但5个及以上 的交点不能实现. B 题型一 平面向量的基本概念及运算 【例1】(1)(2009湖南)如图所示,D,E,F分别是 ABC的边AB,BC,CA的中点,则 ( ) A. =0 B. =0 C. =0 D. =0 解析 =0 =0 A (2)(2009福建)设a,b,c为同一平面内具有相同起点 的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,ac,|a|= |c|,则|bc|的值一定等于 ( ) A.以a,b为两边的三角形的面积 B.以b,c为两边的三角形的面积 C.以a,b为邻边的平行四边形的面积 D.以b,c为邻边的平行四边形的面积 解析 若|a|=|c|=1,|b|=2,a,b= c,b= 则|bc|=21 =1.而以a,b为两边的三角形 面积S= |a|b| 以b,c为两边的三角形面 积S= |b|c| 以a,b为邻边的平行四 边形的面积S=|a|b| =1,以b,c为邻边的平 行四边形的面积S=|b|c| = 故排除A、 B、D,选C. 答案 C 【探究拓展】对于向量的有关运算，要画出图形并结 合图形进行运算，特别要熟练掌握向量运算的三角形 法则和平行四边形法则以及向量的基本定理及性质. 变式训练1 (1)(2009山东)设P是ABC所在平面 内的一点, 则 ( ) A. =0 B. =0 C. =0 D. =0 解析 因为 所以点P为线段AC的中点. (2)(2009全国)已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b| = 则|b|等于 ( ) A. B. C.5 D.25 解析 50=|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2 =5+20+|b|2，|b|=5. C C 题型二 平面向量与三角函数的问题 【例2】(2009湖南)已知向量a= b=(1,2). (1)若ab,求 的值； (2)若|a|=|b|, 解 (1)因为ab,所以 (2)由|a|=|b|知, 【探究拓展】 向量的坐标形式沟通了向量与三角函 数、解析几何等的联系,向量的概念及运算是处理这 类问题的基础及桥梁. 变式训练2 (2009上海)已知ABC的角A、B、C所 对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sin B, sin A),p=(b-2,a-2). (1)若mn,求证:ABC为等腰三角形； (2)若mp,边长c=2,角C= 求ABC的面积. (1)证明 mn,asin A=bsin B,即 其中R是三角形ABC外接圆半径，a=b， ABC为等腰三角形. (2)解 由题意可知mp， 即a(b-2)+b(a-2)=0,a+b=ab, 由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(舍去ab=-1) 题型三 平面向量与解析几何的问题 【例3】在直角坐标系xOy中,点P到两点(0, ), (0, )的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+ 1与C交于A,B两点. (1)写出C的方程； (2)若 求k的值; (3)若点A在第一象限,证明:当k0时，恒有| | | |. (1)解 设P(x,y),由椭圆定义可知， 点P的轨迹C是以(0, ),(0, )为焦点， 长半轴为2的椭圆.它的短半轴 (2)解 设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0, 若 即x1x2+y1y2=0. 而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 化简得-4k2+1=0,所以 (3)证明 因为A在第一象限,故x10. 即在题设条件下，恒有 【探究拓展】向量与平面解析几何都具有数与形结合 的特征,在它们的知识交汇处命题,正是高考命题的 一大亮点，它不仅考查了向量的有关知识,更体现了 向量的工具性作用，题中常涉及到夹角、平行、垂 直、共线、长度等问题,通常用向量的坐标运算,把 几何中的条件转化为坐标，使问题的解决变得直观 化、简单化，从而使问题顺利解决. 变式训练3 如图所示,已知点F(1, 0)，直线l:x=-1，P 为平面上的动 点，过P作直线l的垂线，垂足为点 Q,且 (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M, 解 (1)设点P(x,y),则Q(-1,y),由 得(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y)， 化简得C:y2=4x. (2)设直线AB的方程为： x=my+1 (m0). 设A(x1,y1),B(x2,y2), 又 题型四 平面向量的应用 【例4】如图所示,三角形ABC中, 已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边 上靠近A点的一个三等分点,试 问在线段BM(端点除外)上是否 存在点P,使得PCBM？ 解 以点B为原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直 角坐标系,如图所示, 因为AB=AC=5,BC=6, 所以B(0,0),A(3,4),C(6,0), 则 =(3,-4), 又M是AC边上靠近A点的一个三等分点， 假设在线段BM(端点除外)上存在点P使得PCBM, 这与 (0,1)矛盾,所以在线段BM(端点除外)上不存 在点P使得PCBM. 【探究拓展】本题是存在性问题，若用一般的平面几 何知识去解,将非常繁杂,但利用共线向量,则能巧妙 解决此问题，在今后的解题中注意体会及应用. 变式训练4 (2009陕西)在ABC中,M是BC的中点, AM=1,点P在AM上且满足 等于 ( ) A. B. C. D. 解析 M是BC的中点,则 A 【考题再现】 (2009湖北)已知向量a= b= c=(-1,0). (1)求向量b+c的长度的最大值； (2)设 且a(b+c),求 的值. 【解题示范】 解 (1)b+c= |b+c|2= 2分 -1 1,0|b+c|24,即0|b+c|2. 4分 当 =-1时,有|b+c|=2， 所以向量b+c的长度的最大值为2. 6分 (2)由已知可得b+c= a(b+c)= 因为a(b+c),a(b+c)=0, 1.向量有几何法和坐标法两种表示,它的运算也因这 两种不同的表示而有两种方式,因此向量问题的解决 可有两个途径,即基于几何表示的几何法和基于坐标 运算的代数法,在具体解题时,要善于从不同的角度 考虑问题. 2.解决向量垂直问题:两个非零向量a,b垂直的充要条 件为ab=0;若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab x1x2 +y1y2=0.说明:ab ab=0的适用前提是向量a,b 均为非零向量,这一条件不可忽视,切记. 3.两向量夹角问题：若两个非零向量a，b的夹角记为 a,b= (1) (2)若a=(x1,y1),b=(x2, y2),则 说明:ab0 a与b的夹角为锐角或零度角;ab0 a与b的夹 角为钝角或平角;ab=0 a与b的夹角为直角. 一、选择题 1.(2009辽宁)平面向量a与b的夹角为60,a=(2,0), |b|=1,则|a+2b|等于 ( ) A. B. C.4 D.12 解析 由题意可知， ab=|a|b|cos 60=21 =1, 而|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12, 所以|a+2b|= B 2.(2009浙江)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c 满足(c+a)b,c(a+b),则c等于 ( ) A. B. C. D. 解析 不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3, -1),对于(c+a)b,则有-3(1+m)=2(2+n); 又c(a+b),则有3m-n=0,则有 D 3.(2009重庆)设ABC的三个内角A,B,C,向量m= ( sin A,sin B),n=(cos B, cos A),若mn=1+ cos(A+B),则C等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意可知,mn= (sin Acos B+ cos Asin B)= sin(A+B)=1+cos(A+B), 即 sin C+cos C=2sin(C+ )=1, C 4.(2009海南)已知O,N,P在ABC所在平面内,且 =0 则点O,N,P依次是ABC的 ( ) A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂 心) 解析 由 知点O是ABC的外心;由 =0知点N是ABC的重心;由 知点P是ABC的垂心. C 5.如图所示,O,A,B是平面上的三点, 向量 =a, =b,设P为AB的垂直平 分线CP上的任意一点,向量 =p,若 |a|=4,|b|=2,则p(a-b)等于 ( ) A.6 B.5 C.3 D.1 解析 p= (a+b)+ =(a-b) p(a-b)= (a+b)(a-b) = (a2-b2)= A 6.已知O是ABC所在平面上的一点,且满足 =0, 则点O ( ) A.在AB边上 B.在AC边上 C.在BC边上 D.在ABC内部 解析 由题意可知 =0, 所以点O在BC上. C 二、填空题 7.(2009天津)若等边ABC的边长为 平面内一 点M满足 =_. 解析 建立如图所示的直角坐标 系,因为三角形是正三角形,故设 C(0,0),A( ,0),B( ,3), 求得 然后求得 -2 8.a,b的夹角为120,|a|=1,|b|=3，则|5a-b|=_. 解析 因为ab=13 所以|5a-b|2=(5a-b)2=25a2+b2-10ab=49. 因此|5a-b|=7. 9.如图,在ABC中,BAC=120, AB=2,AC=1,D是边BC上一点,DC =2BD,则 =_. 解析 由余弦定理得 7 答案 10.设点O在ABC的内部,且有 =0, 则ABC的面积与AOC的面积的比是_. 解析 如图,取BC与AC的中点 M、N,连结OM、ON. =0, =0, O、M、N三点共线. MN是ABC的中位线,且ON=2OM,AB=3ON 则ABC的面积与AOC的面积的比是3. 3 三、解答题 11.已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0),B(0,3), 解 12.已知正项数列an的前n项和为Sn,且4,an+1,Sn成 等比数列,向量a=(-1,1),b=(1,1),点Pn满足 =(an -1)a+ b (nN*,O是原点). (1