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文档简介

回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o a b x y o 直观理解： a b x y o 应用方向： 平面图形的面积；体积；侧面积；平面曲 线的弧长；功；水压力；引力和平均值等 将y作为自变量给出面积公式 d dy c x x=(y) A y 定积分的应用 一、平面图形的面积 面积微元: (1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (ab)及x轴所围成的平面图形的面积 y o 面积 若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为 x y oa b x y oa b 面积元素: (2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab) 所围成的平面图形的面积: c x y oa b 一般地， d c x y o 及y轴轴围成的平面图形的面积为 x y o d c 一般地， 及y轴轴围成的平面图形的面积为： d cx y o d cx y o 一般地， 解两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 解两曲线的交点 选 为积分变量 于是所求面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式 解两曲线的交点 选 为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程 解2: 椭圆的参数方程 面积元素 曲边扇形的面积 极坐标系情形 解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 解 利用对称性知 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 平行截面面积为已知的立体的体积 解取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴 圆柱圆锥圆台 旋转体的体积 x y o 旋转体的体积为 由图形 aABb 绕 x轴旋转一周 A B a b y 其平行截面面积 解直线 方程为 o x y a b 套筒法: 体积微元: 例 解 x y 利用圆面积 b a 解 例 圆锥体积 解 (1) 例 y 2 x ao 解 体积元素为 平面曲线弧长的概念 弧长元素弧长 直角坐标情形 解 所求弧长为 解 曲线弧为 弧长 参数方程情形 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长 证 根据椭圆的对称性知 故原结论成立. 曲线弧
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