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2.2 线线性方程与常数变变易法 Date常微分方程 一阶线性微分方程 Date常微分方程 一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法 Date常微分方程 代入(1)得 积分得 注 求(1)的通解可直接用公式(3) Date常微分方程 例1 求方程 通解,这里为n常数 解: 将方程改写为 首先,求齐次方程的通解 从 分离变量得 两边积分得 Date常微分方程 故对应齐次方程通解为 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解, 即 积分得 故通解为 Date常微分方程 例2 求方程通解. 解:但将它改写为 即 故其通解为 Date常微分方程 例3 求值问题 的解. 解:先求原方程的通解 Date常微分方程 故所给初值问题的通解为 Date常微分方程 形如 的方程,称为伯努利方程. 解法: Date常微分方程 例4 求方程 的通解. 解: 解以上线性方程得 Date常微分方程 例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联 电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常 数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的 关系. 二 线性微分方程的应用举例 电电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. Date常微分方程 则电流经过电 感L, 电阻R的电压降分别 为 解线性方程 : 解: 于是由Kirchhoff第二定律, 得到 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 取开关闭合时的时刻为0, 得通解为: Date常微分方程 故当开关K合上后,电路中电流强度为 Date常微分方程
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