2018年中考圆的复习课件.ppt

圆中的计算 与圆有 关的位 置关系 圆的基 本性质 点与圆的位置关系 正多边形的相关计算 直线与圆的位置关系 扇形面积、弧长 垂径定理，勾股定理的应用 弧、弦与圆心角 圆周角及其与同弧上圆心角 圆的对称性 切线 圆 的 切 线 切线长 圆 知识回顾一、知识结构 （五）、切线长定理 二、主要定理 （一）、相等的圆心角、等弧、等弦 之间的关系及垂径定理 （二）、圆周角定理 （三）、与圆有关的位置关系的判别 定理 （四）、切线的性质与判别 三、基本图形（重要结论） 辅助线一 关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦的垂线段 ，这是一条非常重要的 辅助线。 圆心到弦的距离、半径 、弦长构成直角三角形 ，便将问题转化为直角 三角形的问题。 O PAB 在遇到与直径有关的问 题时，应考虑作出直径 或直径所对的圆周角。 这也是圆中的另一 种 辅助线添法。 辅助线二 C AB. O 当遇到已知切线和切 点时，要注意连接圆 心和切点，以便得到 直角去帮助解题。 辅助线三 O A . OO I I 特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法： R= R= c c 2 2 r = r = a+b-ca+b-c 2 2 A A B B C C a a b b c c 直角三角形外接圆、直角三角形外接圆、 内切圆半径的求法内切圆半径的求法 等边三角形外接圆、等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法内切圆半径的求法 基本思路：基本思路： 构造构造直角直角三角形三角形 BODBOD，BOBO为外接为外接 圆半径，圆半径，DODO为内切圆半径为内切圆半径。 A A B B C C OO D D R R r r 1.已知，如图，AB为O的直径， AB=AC,BC交O于点D，AC交O于点 E, BAC=45。给出下面五个结论： EBC=22.5 ；BD=DC； AE=2EC； 劣弧AE是劣弧DE的2 倍 ；DE=DC。其中正确的是 (填序号) . A B C D E O 析：本题主要是应用辅助 线二，作出直径所对的圆 周角。连接、。 则 与 均为，求出各角，得 解。 在同圆中,若AB=2CD， 则弦AB 与2CD的大小关系是（ ） B D C B A O M A.AB2CD B.AB2CD C.AB=2CD D.不能确定 分析:我们可取AB的中 点M,则AM=BM=CD, 弧相等则弦相等,在 AMB中AM+BM AB,即2CD AB. 3.已知, ABC内接于O, ADBC于D,AC=4,AB=6, AD=3,求O的直径。 证明:作O的直径AE, 连接BE,则C= E, ADC= ABE, ABE ADC, AD/AB=AC/AE, 即AE=ABAC/AD=8, O的直径为8 分析:解决此类问题时,我们 通常作出直径以及它所对的 圆周角,证明ABEADC. B C A .O . 115 100 问题一:当点O为ABC的外心时， BOC= 问题二:当点O为ABC的内心时， BOC= 4.已知,如图, 锐角三角形ABC 中,点O为形内一 定点. A=50 O . A B C 当点O为外心时， 则 A与 BOC 为圆周角与圆心角 的关系。如图。所 以 BOC=100 若点O为内心，则应 用公式 BOC= 90+ 0.5 A，可得 BOC=115 证明一：连接AC、BC AC=CECAE=CBA， 又CDAB ACB=CDB=90， ACD=CBA=CAF， AF=CF 5.已知，如图，AB是O的直径，C为AE 的中点，CDAB于D，交AE于F。求证：AF=CF 分析:要正线段相等,通 常是证明两角相等或三 角形全等。该题是证两 角相等。 A F CE B D 证明二：延长CD交 O于G G 若该点位N，你能 证明AF=FN吗？ AB是O的直径， CDAB，AG=AC=CE ， CAE= GCA，CF=AF 20 50或130 问题二:当点O为ABC的外心时， A= 问题一:当点O为ABC的内心时， A= 1.已知, 三角形ABC中,点O为一定点. BOC=100 . 当点O为内心时，则根据公式 BOC= A+90，可得 A=20 当点O为外心时，则首先要考虑圆心是在三角 形内还是外，因此要分两种情况求解。当外心 在三角形内时, BOC=2 A， 则 A=50，当外心在三角形外时， A=180- BOC=130 你做对了吗？ 心动不如行动心动不如行动 2.已知，如图，OA、OB为O的两 条半径，且OAOB，C是AB的中点， 过C作CDOA，交AB于D，求AD的度数 。 B D O A C 分析：求弧AD的度数，即求 它所对的圆心角的度数。因 此连接OD，延长DC交OB与E， 可EDO=DOA=30，所以 弧AD为30 E 心动不如行动心动不如行动 B C A .O . 3、已知,ABC内接于O,ADBC 于D,AC +AB=12, AD=3, 设O的半径 为y,AB为x，求y与x的关系式。 分析：类似于例题，只 要正ABE与 ADC相 似即可。 相信你一定能解对！ E 答案： (3x 9) 心动不如行动心动不如行动 6.两个圆的半径的比为2:3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是 解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x 依题意得：3x-2x=8，解得：x=8 R=24 cm，r=16cm 两圆相交，R-rdR+r 8cm d 40cm 分析:可根据两圆内切时d=R-r,求出半 径,当两圆相交时R-rdR+r, 据此可求 得结果. O B A D P E C 7.如图，从O外一点引圆的两条切线 PA、PB，切点分别为A、B，若PA=8，C为 AB上的一个动点（不与A、B两点重合）， 过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、 E，则PDF的周长为 析： 根据切线长定理可知， PA=PB，而DE切O于C，所以又 有DA=DC，EC=EB，从而PDE 的周长=PD+DC+CE+PE=PA+PB 解：PA、PB、DE 为的切线 ，切点为A、B、C，则PA=PB ；DA=DC；EC=EB。 PDE的周长=PA+PB=16 16 8. 如图，在RtABC中，C=90若以C为圆 心、r为半径画C.若AC=3，BC=4,试问： 当r满足什么条件时，则C与直线AB相切？ 当r满足什么条件时，则C与直线AB相交？ 当r满足什么条件时，则C与直线AB相离？ H A CB 析：当直线与圆相切 时，d=r，所以只要算 出圆心到AB的距离即 可。相离d r;相交 d r. 略解：d=CH=2.4 (1).d=2.4=r (2).r2.4 (3).0r2.4 9. 已知：如图，在ABC中，AB=AC，以 AB为直径的O交BC于点D，过点D作DEAC于 点E.求证DE为O的切线。 O D E B A C . 分析：证明切线常 用两种方法；一为 d=r;另一为切线的 判定定理。该题已 知DE与圆有公共点 ，故用第二种证法 证一：连接OD OD=OB，AB=AC则 B= C= BDO， ODAC， 又 DEAC， OD DE，所以DE为 O的切线 证法二：连接OD、AD 1 3 2 4 AB为直径，BDA=90 又AB=AC，点D为BC的中 点 1= 3， 而 2= 3， DEAC 1+ 4=90 2+ 4=90 DE为O的切线 4.已知：如图， AB、AC与O相切于点B 、C，A=50，P为O上异于B、C的一个动点 ，则BPC 的度数为 （ ） A.40 B.65 C.115 D.65 或115 分析：在解决此问题 时,应注意点P为一动点 ,它可能在劣弧BC上, 也可能在优弧上,但万 变不离其中,应用辅助 线三,连接OB、OC得 直角,即可求解。 P O B A C . 65 P 115 D 心动不如行动心动不如行动 5.如图RtABC中,AB=10,BC=8,以点为圆心, 4.8为半径的圆与线段AB的位置关系 是_; D 相切 4.8r6 r =4.8 或6r8 当 _ 时, O与线段AB没交点; 当_时, O与线段AB有两个交点; 当 _ 时, O与线段AB仅有一交点; 设O的半径为r,则 0r4.8 或r8 本题应注意 的是:圆于线 段的公共点 的个数,而非 与直线的公 共点的个数. 心动不如行动心动不如行动 乙甲 10.如图甲,A是半径为2的O外一点,OA=4,AB 是O的切线,B为切点,弦BCOA,连接AC,求 阴影部分的面积. 点拨:图中的阴影是不规则图形,不易直接求 出,所以要将其转化为与其面积相等的规则图 形,在等积转化中. 可根据平移、旋转或轴 对称等图形变换；可根据同底（等底）同 高(等高)的三角形面积相等进行转化. 解:如图一 :连接OB、 OC. BC/OA ， ,S阴影=S 扇形OBC , AB为O 的切线， OBAB. OA=4， OB=2， AOB=6 0. BC/OA, AOB= OBC=60 . OB=OC, OBC 为正三角 形, COB=6 0,S阴影 =60 4/360=2 /3 6.如图所示, A、 B 、 C、 D、 E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心 得到五边形ABCDE，求图中五个扇形（阴影部分） 的面积之和。 分 析 ： 因 为 五 个 圆 时 等 圆 ， 所 以 根 据 扇 形 面 积 计 算 公 式 得 ： S = = （ A + B + C + D + E ） = 1 . 5 A B E D C 点拨:化 整 为零、化 分散为集 中的整体 策略是解 题的重要 方法。 心动不如行动心动不如行动 11： 如图，已知O的弦 AB所对的 圆心角等于140o，则弦AB所对的圆周 角的度数为_. 70o或110o C C 错解: 70 错因:忽视了弦所对 的圆周角有两类。. 正解：当圆周角在优弧 上时，圆周角为140 的 一半70；当圆周角在劣 弧上时，则与70互补， 为110。 误区警示 12、如图,以O为圆心的两同心圆的半径 分别是11cm和9cm,若P与这两个圆都 相切, 则这个圆的半径为 错解： 1cm 错因：忽视了和两圆都 是内切关系的情况。 正解：先考虑夹在圆环 内的小圆半径为1cm，再 看和中间小圆内切的圆 半径为4.5cm。 1cm或4.5cm 误区警示 13、已知AB是O的直径,AC是弦,AB=2,AC= , 在图中画出弦AD,使得AD=1,求CAD的度数. A D C B 45 D 60 15 错解：105 错因：以A为顶 点且长 度为1的弦有两条，其一 与AC在直径的同侧，其 二与AC在直径的异侧。 应分两种情况讨论。 正解：当在直径的两侧时； 连接BC，BD； 则ABC为等腰直角三角形 ，CBA=45； 在直 角 ABD中2AD=AB， BAD=60 CAD=60+45=105 当AC、AD在直径的同侧时，则 CAD=6045=15 误区警示 14.已知圆内接ABC中，AB=AC，圆 心O到BC的距离为3 ，半径为7 。求腰 长AB. 错解：如图，过点A 作ADBC于D，连 接OB, AB=AC, BD=DC.即AD垂直 平分BC, AD过圆 心O, AD=AO+OD=7+3 =10在直角OBD中 ， D A C . O B 误区警示 错因分析：只考虑圆心ABC在内部， 而忽略了圆心ABC在外部的情况。 正解：除上述第一种情况外 ，还有另一种情况。 B . O A C D 如图，过点 A作 ADBC于 D，连接 OB,由第一 种情况可得 : AD过圆心 O, AD=AO- OD=7-3=4综上所述:腰AB长为或 误区警示 7、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入 一部分油，油面宽320mm，求油的深度. 分析: 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题 ，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解 为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性 ，弦的位置有两种不同的情况，如图(1)和(2) 图(1)中 OC=120CD=80(mm) 图(2)中 OC=120 CD=OC+OD=320(mm ) 心动不如行动心动不如行动 8.半径分别是20 cm和15 cm的两圆相交， 公共弦长为24 cm，求两圆的圆心距？ O1O2=O2C-O1C =16-9=7 . O1O2=O2C + O1C =16+9=25 . 分析:解此题时应考虑圆心是在公共弦 的同侧还是异侧，因此应分两种情况。 心动不如行动心动不如行动 15.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角 形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得 C=90，AC=AB=4，今要从这种三角形中剪 出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的 边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形的弧 与 ABC的其他边相切，请设计出所有可能符 合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。 （只要画出图形，并 直接写出扇形半径） C A B 感悟圆中的数学思想 分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都 在三角形边上，相切的情况有两种 （1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切） （2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边 和一斜边相切） 并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形） （1）与一直角边相切可如图(1)所示 （2）与一斜边相切如图(2)所示 （3）与两直角边相切如图(3)所示 （4）与一直角边和一斜边相切如图(4)所示 解：可以设计如下图四种方案： r1=4 r2=2 r3=2 r4=4 -4 (1) (3) (2) (4) 16. 如图,残破的轮片上,弓形的弦为480 ,高为70,求原轮片的直径.(精确到1) 解:OCAB,OC是 半径, 2BD =AB=480 .设OB=R, 在直角OBD中, 解得:R446 原轮片的直径为 2R4462=892 在解决此类问题 时,往往 在直角三 角形的基础上,建 立方程,应用勾股 定理求解. 感悟圆中的数学思想 O C A D B 17.如图,为一圆锥形粮堆,从正面看是边 长为6米的正三角形ABC,粮堆母线AC的中 点P处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正 在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠, 则小猫所经过的最短路线是米.( 结果保留根号) 解析:此类问题是将立体图形问 题转化到平面图形问题来解决. 该题是将圆锥侧面展开为扇形, 如图.连接BP,则最短距离即为 线段BP的长. 解:由已 知条件 可得圆 锥的侧 面积为 18, = 1 8 , 解 得 n= 18 0 , 则 BAP= 90,又 AB=6 m,AP=3 m,由勾 股定理 的BP= m P A C B . 感悟圆中的数学思想 9.已知的O半径为3,点P是直线上 a的一点, OP长为5 ,则直线a与O 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交、相切、相离都有可能 由于OP与直线a的位置不确定 ，所以直线a与O的位置关系 可能有如下三种情况。 a O 5 Pa P O 5 a O P 5 D 相交相切 相离 心动不如行动心动不如行动 10.已知如图(1)，圆锥的母线长为4，底面圆半 径为1，若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行 一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离. (1) (2) 本题是将圆锥侧 面展开，得一扇 形，先求一圆心 角。得解。 你做 对了 吗？ 解：侧面展开图如图(2) 21= ,n=90 SA=4，SC=2 AC=2 .即小虫爬行的最短距离为2 . 心动不如行动心动不如行动 18、一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水 面上升4米后水面CD宽24米，此时上游 洪水以每小时0.25米的速度上升，再通 过几小时，洪水将会漫过桥面？ 圆的实际应用 此题实际是应 用了转化的思 想，把实际问 题转化为圆的 问题求解 解：过圆心O作OEAB于E，延长后交 CD 于F，交弧CD于H，设OE=x，