哈工大大学物理课件(马文蔚教材)-第7章热学.ppt

1. 统计规律 - 大量偶然事件整体所遵从的规律. 加尔顿板实验: 单个粒子运动-偶然事件 (落入那个槽) 大量粒子运动-统计规律(粒子在槽中的分布) 第七章 气体动理论 7-1 物质的微观模型 统计规律性 一 物质的微观模型 二 统计规律性 1 单个粒子遵循牛顿定律; 大量粒子遵从统计规律 - 牛顿运动定律无法说明 统计规律特点: (2) 是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律. (3) 与系统所处宏观条件有关. (4) 存在起伏(涨落) . 2. 概率的定义 实验总观测次数为N ,其中出现结果 A 的次数为 NA 事件A 出现的概率 (1) 对大量偶然事件有效, 对少量事件不适用。 不矛盾 2 3. 概率的基本性质 (1) W=0为不可能事件; W=1为必然事件. (2) A,B为互斥事件,不可能同时出现,则出现A或B的总概率: - 概率叠加原理 归一化条件: 对所有可能发生的事件的概率之和必定为1. 或 (3) J,K为相容事件(可同时出现 ），则同时发生J和K的概率. - 概率乘法定理 3 4.平衡态是概率最大的状态 a b c d 4个可分辨热运动粒子，在等容体A,B两室中： （中间隔板打开） AB AB a b c d a b c d a b dc a c db b c da a b c d a cb d b c a d a b c d a c b c b d a d a b c a b d a c d b c d d c b a a b c d 1 4 6 4 1 (平衡态概率最大) 斯特令公式 4 7-2 理想气体的压强公式 思路: 压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生. 压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁 单位面积上的平均冲量. 建立理想气 体微观模型 利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动 利用统计规律处理大量粒子的行为 得到 理想气体压强公式 推导:理想气体微观模型. (1)气体分子看成质点 (2)除碰撞外,忽略其它力 (3)完全弹性碰撞 5 速度在 的分子一次碰撞ds后的动量变化为 dt时间内,凡是在底面积为ds, 高为vixdt 的斜柱体内, 的分子都能与 ds 相碰. 这些分子作用于 ds 冲量为 推导理想气体压强公式用图 vi vi ds x vivi vi =2vix 而且速度在 dt内各种速度分子对ds 的总冲量为: v ds x vixdt 6 因而 压强 由于 所以 其中为分子的平均平动动能 这些分子作用于 ds 冲量为 dt内各种速度分子对ds 的总冲量为: 平衡状态下分子沿任何 方向的运动都不占优势 7 推导中用到的统计概念和统计假设: 分子以各种方向入射角去碰ds的概率相同 平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，因而有: 讨论: 压强公式将宏观量 p 和微观量 n k 的统计平均 值联系在一起 注意推导中的思维方法 气体分子相互碰撞时,一个分子失去多少动量必有另 一个分子得到相同的动量. 分子相互碰撞导致分子与ds碰撞的次数增加和减 少的机会是相同的, 推导未考虑分子间的相互碰撞. 8 温度是气体分子平均平动动能的量度, 具有统计意义. 7-3 理想气体分子的平均平动动能与温度的 关系 温度反映了热平衡状态下组成系统的大量微观粒子的 无规则运动的剧烈程度. 9 一 等概率假设 处在平衡态的孤立体系, 其可能的微观态出现的几率相等 - 平衡态统计理论的基础 如果可能微观态总数为 ，则系统的任意微观态 出现的概率均为 1/ : 系统自发趋向于最概然分布 求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路 : (1)求将N个粒子按 的各种量子态中去的可能占据的方式数 分别放到能量为 （2） 求 取最大值的分布, 即最概然分布 (3) 求在最概然分布下, 每个能级上的粒子数 7-5 麦克斯韦气体分子速率分布律（预备 知识） 10 能级上每个量子态被占据的概率 讨论过程中要用到等概率假设和约束条件 约束条件: 孤立体系 (1)求将N个粒子按 的各种量子态中去的可能占据的方式数 分别放到能量为 （2） 求 取最大值的分布, 即最概然分布 (3) 求在最概然分布下, 每个能级上的粒子数 11 二. 麦克斯韦-玻尔兹曼统计 ( M-B分布 ) 经典粒子彼此可以区分, 每个量子态中的粒子数不受限制. 2个经典粒子在3个量子 态中的可能分布 （共9种)(M-B分布) 哈尔滨 飞机 火车 汽车 飞机 火车 汽车 北京 上海 共有种方案 （2个不同粒子放入3个盒 子，分2步完成。） 2个不同色子扔下，先扔1 个，再扔另1个，共62种状 态 12 (2) 个粒子分别占用能级 的 个量子态的占据方式为 因而 N 个可区分粒子，分为 个粒子的组合方式为 (3) (1) Ni个经典粒子分布在 能级的 个量子态上的占据方式为 13 (2) 为使 极大, 令 利用斯特令公式 因而 y 1 2 3x 14 由宏观约束条件 （3） 由宏观约束条件确定 由拉格朗日乘子法原理 15 最后可得 由 可得 经典粒子按能级 的最概然分布 M-B分布 理论和实 验证明 16 7-5 麦克斯韦气体分子速率分布律 1. 麦克斯韦分子速度分布律 利用M-B分布可导出在没有势场情况下， 理想气体按速度的分布规律。 对理想气体，在温度T的平衡态下: 分子速度在 的概率 17 利用 18 2. 麦克斯韦分子速率分布律 如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小, 由 并对由 在T的平衡态下，理想气体分子速率在 v-v+dv 范围 内的概率 速率分布函数 - 概率密度 麦克斯韦速率分布函数 满足归-化条件: o vz vxvy v * 扩大为 19 0v f(v) . . . . . . 。 银蒸汽 真空 麦克斯韦速率分布实验 银相对厚度 20 vv2vp vv+dv f (vp) o f (v) v1 讨论: (1) f (v)曲线下面积的物理意义 寛度为dv的窄条面积: 曲线下总面积: V1-V2区间的面积: 21 （3） 最概然速率（最可几速率） - f(v)-v曲线极大值所对应的速率 vp vp 的物理意义： vp 附近概率密度最大 （同样速率间隔dv, 速率在 vp - vp+ d v 的分子数最多) 由 及 vv2 vv+dv o f (v) v1 （2） 由 同理， 22 v o f (v) 3 三种速率 平均速率 方均根速率 最概然速率 vp 可以看出前面 说明 是合理的 23 7-6 玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式 外力场中, 粒子在 速度在 的分子数 对所有速度积分, 由速度分布 函数的归一 化条件, 得 得体积元dxdydz内的总分子数: 气体分子按能量的分布规律（玻尔兹曼能量分布律） 24 用空间粒子数密度表示: n0为 Ep =0 处的粒子数密度 重力场中 重力场中粒子按高度的分布 - 恒温气压公式 25 空气密度 气体压强 可以看作单位面积上空气柱重量 由 重力场中粒子按高度的分布另一种推导方法： 26 分子热运动 踫撞示意图 7-7 分子平均碰撞次数和平均自由程 1.分子平均踫撞频率 d d d u 分子平均踫撞频率 27 由于分子向各个方向运动的概率相同, 所有两分子运动方向的平均夹角将是 0至 180之间的平均值 90 因此所以 即每秒内一个分子要发生几十亿次踫撞. 分子平均踫撞频率 常温常压下, 数量级为 例：H2常温常压 28 2.平均自由程 平均自由程: 分子在连续两次踫撞间所通过的自由路程的平均值 将 p=nkT 代入上式得 分子平均踫撞频率 约为分子直径10-10米的1000倍 29 7-8 气体的迁移现象 1.粘滞现象 粘滞力 粘性系数 （粘度） 2.热传导现象 传递热量热导率 3.扩散现象 传递质量气体扩散系数 传递动量 30 物理意义？ 速率大于V1的速率平均值 由 例1 31 v f(v) 温度T相同，哪个是H2? 哪个是O2? 都个是H2, 温度不同，哪个温度高？ Vp1 Vp2 0 例2 32 用 简化运算 例333 例4： 求300K时，空气中速率在vp附近和10vp附近 单位速率区间的分子数占总 分子数的百分比各是多少？ 解： 34 例5已知： N个粒子的速率分布函数为 （C为待定常数） 求：平均速率 解： 由 35 例6 一瓶气体由N个分子组成。试证不论分子速率 分布函数如何，总有 证： 36 7-10 热力学第二定律的统计意义 热力学第二定律是说明自然宏观过程进行方向的规律 热力学第二定律的微观本质是什么？ 一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性增大的方向 进行. 热力学第二定律是一条统计规律 热力学系统的一个宏观状态可以包含很多微观状态 一 熵与无序 熵是孤立系统的无序度的一种量度 系统熵的增加意味着系统的无序度的增加 系统的无序度反映了系统的混乱程度 二 无序度与微观状态数 37 AB a b c d a b c d a b dc a c db b c da a b c d a cb d b c a d a b c d a c b c b d a d a b c a b d a c d b c d d c b a a b c d 1 4 6 4 1 a b c d 4个可分辨热运动粒子 ，在等容体A,B两室中： （中间隔板打开） AB 各宏观态中平衡态出现的概率最大 例：气体的绝热自由膨胀： （其微观状态数最多） 可以看出： 可能出现多种宏观状态 38 1.热力学概率W：任一宏观状态所对应的微观状态数 对于孤立系，在一定条件下的平衡态（粒子均匀分布）的 热力学概率W最大，平衡态是最容易被观察到的宏观状态. 气体的自由膨胀过程是由非平衡态向平衡态转化的过程， 是由W小的宏观状态向W大的宏观状态转化的过程. 2. 这里用到统计理论中的“等概率假设”： 对于孤立系平衡态，各个微观状态出现的可能性（或概率） 相同 3. 热力学概率W是分子运动无序性的一种量度 W不是最大值就是非平衡态. 例： 三 熵与热力学概率 玻尔兹曼关系式 39 热力学概率W：它等于一个宏观系统中所包含的微观 状态数，反映系统无序度的大小。 引入系统状态函数熵S,熵是热力学系统混乱 程度大小的量度 4 玻尔兹曼熵公式（统计熵） 一个系统的两个子系统的热力学概率分别为W1和W2 熵分别为S1和S2 则大系统的 40 由玻尔兹曼熵公式 （统计熵） 克劳修斯熵公式 （热力学熵） 推导 对一定温度T,一定体积V下的mol单原子理想气体： 由分子的位置（与V有关）和速度（与T有关）来确定 分子按位置分布的微观状态数 分子按速度分布的微观状态数 41 理想气体，可逆过程 热力学第一定律 单原子理想气体 42 单原子理想气体 推广到任意热力学系统： 任意热力学系统 和上述单原子理想气体系统 组成孤立复合系统 接触 达到平衡态T后 复合系统的熵： 对孤立复合系统，可逆过程 结论： （任意系统可逆过程） 43 玻尔兹曼熵（统计熵）适用于平衡态和非平衡态（都有 微观状态数） 克劳修斯熵 （热力学熵）只适用于平衡态 克劳修斯熵 （热力学熵）是玻尔兹曼熵（统计熵）的 最大值 44 5.热力学第二定律统计意义 由热力学第二定律 孤立系统内发生的一切过程，总是由包括微观状态数目小的 宏观状态向包括微观状态数目大的宏观状态进行。 或由概率 小的状态向概率大的状态进行。这就是热力学第二定律统计意义. 孤立系统 （等号适用于可逆过程） 45 1.自组织现象 在一定外界条件下，系统内部自发地由无序走向有序 的现象称为自组织现象. 例：生命世界里生物的进化； 无生命世界里高空水汽凝结成有规则的六角形雪花； 人类社会中各种有序活动. * 非平衡过程 46 实验中几种典型自组织现象： （1）贝纳尔对流花样 （流体中的自组织现象） 温度梯度超过某一临界值时，静止液体会出现许多规则的六角形 对流格子，液体内分子运动宏观有序化，从而更有效地传递能量。 （2） B-Z反应 （化学自组织现象） 以铈离子做催化剂的柠檬酸和丙二酸的溴酸氧化反应中，溶液的 颜色在黄色和无色间或红色与兰色间震荡（离子浓度周期性变化） 同时出现各种浓度随空间周期性变化的有序结构。 （3）激光 （物理自组织现象） 当输入功率大于临界值时，受激辐射占优势，各原子发出频率、 振动方向都相同的相干光。发光物质原子处于非常有序的自组织 状态。 47 耗散结构形成条件： （1）系统必须开放。 （2）系统必须处于远离平衡态的非线性区。 （3）存在非线性相互作用。 系统在远离平衡态时，可以有多种可能的有序结构，出现分支 现象。当系