[中考]2013年中考压轴题预测.doc

20122012 年中考数学年中考数学 压轴题压轴题 1.如图：抛物线经过 A（-3，0） 、B（0，4） 、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知 AD = AB（D 在线段 AC 上） ，有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位 长度的速度移动；同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的 移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小？若 存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线 2 yaxbxc的对称轴为 2 b x a ） 解：设抛物线的解析式为 2 (0)yaxbxca， 依题意得：c=4 且 9340 16440 ab ab 解得 1 3 1 3 a b 所以 所求的抛物线的解析式为 2 11 4 33 yxx （2）连接 DQ，在 RtAOB 中， 2222 345ABAOBO 所以 AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 5 = 2 因为 BD 垂直平分 PQ，所以 PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB 因为 AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以 DQAB 所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB DQCD ABCA 即 210 , 577 DQ DQ 所以 AP=AD DP = AD DQ=5 10 7 = 25 7 ， 2525 1 77 t 所以 t 的值是 25 7 （3）答对称轴上存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为 1 22 b x a 所以 A（- 3，0） ，C（4，0）两点关于直 线 1 2 x 对称连接 AQ 交直线 1 2 x 于点 M，则 MQ+MC 的值最小过点 Q 作 QEx 轴，于 E，所以QED=BOA=90 DQAB， BAO=QDE， DQE ABO QEDQDE BOABAO 即 10 7 453 QEDE 所以 QE= 8 7 ，DE= 6 7 ，所以 OE = OD + DE=2+ 6 7 = 20 7 ，所以 Q（ 20 7 ， 8 7 ） 设直线 AQ 的解析式为(0)ykxmk则 208 77 30 km km 由此得 8 41 24 41 k m 所以直线 AQ 的解析式为 824 4141 yx 联立 1 2 824 4141 x yx 由此得 1 2 824 4141 x yx 所以 M 128 (,) 241 则：在对称轴上存在点 M 128 (,) 241 ，使 MQ+MC 的值 最小。 2.如图 9，在平面直角坐标系中，二次函数)0( 2 acbxaxy的图象的顶点为 D 点， 与 y 轴交于 C 点，与x轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ， OBOC ，tanACO 3 1 （1）求这个二次函数的表达式 （2）经过 C、D 两点的直线，与x轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使 以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存 在，请说明理由 （3）如图 10，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一 动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的 最大面积. （1）由已知得：C（0，3） ，A（1，0） 1 分 将 A、B、C 三点的坐标代入得 3 039 0 c cba cba 2 分 解得： 3 2 1 c b a 3 分 所以这个二次函数的表达式为：32 2 xxy 3 分 （2）存在，F 点的坐标为（2，3） 4 分 图 9 y xOE D C BA G AB C D O x y 图 10 理由：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为：3xy E 点的坐标为（3，0） 4 分 由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF 以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形 存在点 F，坐标为（2，3） 5 分 （3）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q， 易得 G（2，3） ，直线 AG 为1xy8 分 设 P（x，32 2 xx） ，则 Q（x，x1） ，PQ2 2 xx 3)2( 2 1 2 xxSSS GPQAPQAPG 9 分 当 2 1 x时，APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 4 15 , 2 1 ， 8 27 的最大值为 APG S 10 分 3.如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） 。 求抛物线的解析式； 设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在 点 P，使得PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在，请说明理由; 若点 M 是抛物线上一点，以 B、C、D、M 为顶点的四边形是直 角梯形，试求出点 M 的坐标。 抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ， 设抛物线解析式为)0(3 2 abxaxy1 分 根据题意，得 , 0339 , 03 ba ba ，解得 . 2 , 1 b a 抛物线的解析式为32 2 xxy2 分 存在。3 分 第 26 题图 x y A M P D O B C 由32 2 xxy得，D 点坐标为（1，4） ，对称轴为 x1。4 分 若以 CD 为底边，则 PDPC，设 P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理， 得 2222 )4() 1()3(yxyx，即 y4x。5 分 又 P 点(x,y)在抛物线上，324 2 xxx，即013 2 xx6 分 解得 2 53 x，1 2 53 ，应舍去。 2 53 x。7 分 2 55 4 xy，即点 P 坐标为 2 55 , 2 53 。8 分 若以 CD 为一腰，因为点 P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P 与点 C 关 于直线 x1 对称，此时点 P 坐标为（2，3） 。 符合条件的点 P 坐标为 2 55 , 2 53 或（2，3） 。9 分 由 B（3，0） ，C（0，3） ，D（1，4） ，根据勾股定理, 得 CB23,CD2,BD52,10 分 20 222 BDCDCB, BCD90,11 分 设对称轴交 x 轴于点 E，过 C 作 CMDE，交抛物线于点 M，垂足为 F，在 RtDCF 中， CFDF1, CDF45, 由抛物线对称性可知，CDM24590,点坐标 M 为（2，3） ， DMBC, 四边形 BCDM 为直角梯形, 12 分 由BCD90及题意可知， 以 BC 为一底时，顶点 M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 以 CD 为一底或以 BD 为一底，且顶点 M 在抛物线上的直角梯形均不 存在。 综上所述，符合条件的点 M 的坐标为（2，3） 。13 分 Ex y A M P D O B C F 3.已知：抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴 的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB0,y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是OEAFA的对角线， 2 17 2264()25 22 OAE SSOA yy A 因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0） ，所以，自变量x的 取值范围是 1x6 根据题意，当 S = 24 时，即 2 7 4()2524 2 x 化简，得 2 71 (). 24 x 解之，得 12 3,4.xx 故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4） ，E2（4，4） 点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以OEAFA是菱形； 点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以OEAFA不是菱形 当 OAEF，且 OA = EF 时，OEAFA是正方形，此时点 E 的 坐标只能是（3，3） 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E， 使OEAFA为正方形 E C A y O B F x M D 13.如图12，直线4 3 4 xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经 过点A、C和点0,1B. （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线 OAC 按OAC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按 OCA的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从 点O出发t秒时，ODE的面积为 S . 请问D、E两点在运动过程中，是否存在DEOC，若存在，请求出此时t的值； 若不存在，请说明理由； 请求出 S 关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 设 0 S是中函数 S 的最大值，那么 0 S = . 解：（1）令0x，则4y； 令0y则3x3 0A，0 4C， 二次函数的图象过点0 4C， 可设二次函数的关系式为 4 2 bxaxy 又该函数图象过点3 0A，1 0B ， 0934 04 ab ab ， 解之，得 3 4 a， 3 8 b 所求二次函数的关系式为4 3 8 3 4 2 xxy （2）4 3 8 3 4 2 xxy = 3 16 1 3 4 2 x E C A y O B x M D 顶点M的坐标为 16 1 3 ， 过点M作MFx轴于F AFMAOCMFOCM SSS 四边形梯形 =101 3 16 4 2 1 3 16 13 2 1 四边形AOCM的面积为 10 （3）不存在DEOC 若DEOC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时12t ，在RtAOC中， 5AC 设点E的坐标为 11 xy， 5 44 3 1 t x ， 5 1212 1 t x DEOC， t t 2 3 5 1212 3 8 t 3 8 t2，不满足12t 不存在DEOC 根据题意得D，E两点相遇的时间为 11 24 4 2 3 543 （秒） 现分情况讨论如下： ）当01t 时， 2 13 43 22 StttA； ）当12t 时，设点E的坐标为 22 xy， 5 445 4 2 t y ， 5 1636 2 t y tt t tS 5 27 5 12 5 1636 2 3 2 1 2 ）当 2 t 11 24 时，设点 E 的坐标为 33 xy，类似可得 5 1636 3 t y 设点D的坐标为 44 , yx 5 3 2 3 4 4 t y ， 5 126 4 t y AOEAOD SSS 5 126 3 2 1 5 1636 3 2 1 tt = 5 72 5 33 t 80 243 0 S 14.已知：如图，抛物线 2 yaxbxc经过(1,0)A、(5,0)B、(0,5)C三点 （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线ykxb与抛物线相交于点E （4，m） ，请求出CBE的面积S的值； （3）在抛物线上求一点 0 P使得ABP0为等腰三角形 并写出 0 P点的坐标； （4）除（3）中所求的 0 P点外，在抛物线上是否还存 在其它的点P使得ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的 点P（要求简要说明理由，但不证明） ；若不存在这样的点P，请说明理由 解：（1）抛物线经过点(1,0)A、(5,0)B， (1)(5)ya xx 又抛物线经过点(0,5)C， 55a ，1a 抛物线的解析式为 2 (1)(5)65yxxxx （2）E点在抛物线上， m = 4246+5 = -3 x y C B A E 1 1 O 直线y = kx+b过点C（0， 5） 、E（4， 3） ， 5, 43. b kb 解得k = -2，b = 5 设直线y=-2x+5 与x轴的交点为D， 当y=0 时，-2x+5=0，解得x= 5 2 D点的坐标为（ 5 2 ，0） S=SBDC + SBDE = 1515 (5)5+(5)3 2222 =10 （3）抛物线的顶点 0(3, 4)P既在抛物线的对称轴上又在抛物线上， 点 0(3, 4)P为所求满足条件的点 （4）除 0 P点外，在抛物线上还存在其它的点P使得ABP为等腰三角形 理由如下： 22 00 242 54APBP， 分别以A、B为圆心半径长为 4 画圆，分别与抛物线交于点B、 1 P、 2 P、 3 P、 A、 4 P、 5 P、 6 P，除去B、A两个点外，其余 6 个点为满足条件的点 15.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针 旋转120，得到线段OB (1)(1)求点B的坐标； (2)(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； (3)(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那 么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没 有，请说明理由 (注意：本题中的结果均保留根号) 解：（1）过点 B 作 BDx 轴于点 D，由已知可得： OBOA=2，BOD60 在 RtOBD 中，ODB90，OBD30 OD1，DB3 点 B 的坐标是（1，3） （2）设所求抛物线的解析式为 2 yaxbxc，由已知可得： 0 3 420 c abc abc 解得： 3 3 abc 2 3 ，=，=0 3 所求抛物线解析式为 2 32 3 33 yxx （备注：a、b的值各得 1 分） （3）存在 由 2 32 3 33 yxx 配方后得： 2 33 (1) 33 yx 抛物线的对称轴为1x （也可用顶点坐标公式求出） 点 C 在对称轴1x 上，BOC 的周长OB+BC+CO； OB=2，要使BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小， 点 O 与点 A 关于直线1x 对称，有 CO=CA BOC 的周长OB+BC+COOB+BC+CA 当 A、C、B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时 BOC 的周长最小。 A B (第 25 题图) 1O-1 x y 1 设直线 AB 的解析式为ykxb，则有： 3 20 kb kb 解得： 32 3 33 kb， 直线 AB 的解析式为 32 3 33 yx 当1x 时， 3 3 y 所求点 C 的坐标为（1， 3 3 ） （4）设 P()xy，（200xy，） ，则 2 32 3 33 yxx 过点 P 作 PQy 轴于点 Q， PGx 轴于点 G，过点 A 作 AFPQ 轴于点 F，过点 B 作 BEPQ 轴于点 E，则 PQ=x，PG=y，由题意可得： PABAFPBEPAFEB SSSS 梯形 111 () 222 AFBEFEAF FPPE BE = 111 (3)(12)()(2)(1)( 3) 222 yyy xxy 33 3 22 yx 将代入，化简得： 2 33 3 22 PAB Sxx - 2 319 3 () 228 x 当 1 2 x 时，PAB 得面积有最大值，最大面积为 9 3 8 。 此时 312 313 () 34324 y 点 P 的坐标为 13 () 24 ， 16.如图，已知与x轴交于点(10)A ，和(5 0)B ，的抛物线 1 l的顶点为(3 4)C ，抛物线 2 l与 1 l关于x轴对称，顶点为 C （1）求抛物线 2 l的函数关系式； （2）已知原点O，定点(0 4)D ， 2 l上的点P与 1 l上的点 P 始终关于x轴对称，则当点 P运动到何处时，以点DOP P ，为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在 2 l上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？ 若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 解：解：（1）由题意知点 C 的坐标为(34)， 设 2 l的函数关系式为 2 (3)4ya x 又点(10)A ，在抛物线 2 (3)4ya x上， 2 (1 3)40a，解得1a 抛物线 2 l的函数关系式为 2 (3)4yx（或 2 65yxx） （2）P与 P 始终关于x轴对称， PP 与y轴平行 设点P的横坐标为m，则其纵坐标为 2 65mm， 4OD ， 2 2654mm，即 2 652mm 当 2 652mm时，解得36m 当 2 652mm 时，解得32m 当点P运动到(36 2)，或(36 2)，或(322)，或(322)，时， P POD ，以点DOP P ，为顶点的四边形是平行四边形 （3）满足条件的点M不存在理由如下：若存在满足条件的点M在 2 l上，则 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 5 4 3 2 1 1 2 3 D 5 5 43 21 A C E M B C 1 O 2 l 1 l x y 90AMB ，30BAM （或30ABM ） ， 11 42 22 BMAB 过点M作MEAB于点E，可得30BMEBAM 11 21 22 EBBM，3EM ，4OE 点M的坐标为(43)， 但是，当4x 时， 2 46 451624533y 不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形 17.如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存 在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由 解：（1）将A(1，0)，B(3，0)代入yx 2bxc得 039 01 cb cb 2 分 解得 3 2 c b 3 分 该抛物线的解析式为yx 2 2 x3 4 分 （2）存在 5 分 该抛物线的对称轴为x )( 12 2 1 抛物线交x轴于A、B两点，A、B两点关于抛物线的对称轴x1 对 称 由轴对称的性质可知，直线BC与x1 的交点即为所求的Q点，此时QAC O BA C y x O BA C y x Q 1x 图 1 的周长最小，如图 1 将x0 代入yx 2 2 x3，得y3 点C的坐标为(0，3) 设直线BC的解析式为ykxb1， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得 3 03 1 1 b bk 解得 3 1 1 b k 直线BC的解析式为yx36 分 联立 3 1 x x y 解得 2 1 y x 点Q的坐标为(1，2) 7 分 （3）存在 8 分 设P点的坐标为（x ， x 2 2 x3） （3x0） ，如图 2 SPBC S四边形PBOC SBOC S四边形PBOC 2 1 33S四边形PBOC 2 9 当S四边形PBOC有最大值时，SPBC就最大 S四边形PBOC SRtPBES直角梯形PEOC 9 分 2 1 BEPE 2 1 (PEOC)OE 2 1 (x3)(x 2 2 x3) 2 1 ( x 2 2 x33)(x) 2 3 (x 2 3 )2 2 9 8 27 当x 2 3 时，S四边形PBOC最大值为 2 9 8 27 SPBC最大值 2 9 8 27 2 9 8 27 10 分 当x 2 3 时， x 2 2 x3( 2 3 )22( 2 3 )3 4 15 点P的坐标为( 2 3 ， 4 15 ) 11 分 18.如图，已知抛物线ya(x1)233(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D， 过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连 结BC （1）求该抛物线的解析式； O BA C y x Q 图 2 E P （2）若动点P从点O出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的 时间为t（s） 问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？ 等腰梯形？ （3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 个长度单 位和 2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随 之停止运动设它们的运动的时间为t（s） ，连接PQ，当t为何值时，四边形 BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长 解：（1）把A(2，0)代入ya(x1)233，得 0a(21)233 a 3 3 1 分 该抛物线的解析式为y 3 3 (x1)233 即y 3 3 x 2 3 32 x 3 38 3 分 （2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点 xD )( 3 3 2 3 32 1，yD 3 3 1 2 3 32 1 3 38 33 点D的坐标为(1，33 ) 如图，过点D作DNx轴于N，则 DN33，AN3，AD 22 333)(6 DAO60 4 分 OMAD 当ADOP时，四边形DAOP为平行四边形 OP6 t6（s）5 分 当DPOM时，四边形DAOP为直角梯形 过点O作OEAD轴于E 在 RtAOE中，AO2，EAO60，AE1 （注：也可通过 RtAOERtAND求出AE1） 四边形DEOP为矩形，OPDE615 D C M y O A BQ P x D C M y O A BQF N E P x t5（s） 6 分 当PDOA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OPAD 2 AE624 t4（s） 综上所述，当t6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、 等腰梯形 7 分 （3）DAO60，OMAD，COB60 又OCOB，COB是等边三角形，OBOCAD6 BQ2t，OQ62t（0t3） 过点P作PFx轴于F，则PF 2 3 t 8 分 S四边形BCPQ SCOB SPOQ 2 1 633 2 1 (62t) 2 3 t 2 3 (t 2 3 )2 8 363 9 分 当t 2 3 （s）时，S四边形BCPQ的最小值为 8 363 10 分 此时OQ62t62 2 3 3，OP 2 3 ，OF 4 3 ，QF 3 4 3 4 9 ，PF 4 33 PQ 22 QFPF 22 4 9 4 33 )()( 2 33 11 分 19.如图，已知直线y 2 1 x1 交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形 ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E （1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒5 个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时 停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写 出相应自变量t的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求 抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积 解：（1）C(3，2)，D(1，3)； 2 分 （2）设抛物线的解析式为yax 2bxc，把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入 得 239 3 1 cba cba c 解得 1 6 17 6 5 c b a 4 分 抛物线的解析式为y 6 5 x 2 6 17 x1；5 分 （3）当点A运动到点F（F为原B点的位置）时 AF 22 21 5 ，t 5 5 1（秒） 当 0 t 1 时，如图 1 BFAA5t RtAOFRtGB F， OF OA FB GB B G OF OA B F 2 1 5t 2 5 t 正方形落在x轴下方部分的面积为S即为B FG的面积SBFG SSBFG 2 1 B FB G 2 1 5t 2 5 t 4 5 t 27 分 y x 1 2 1 xy O A B C D E y xO A F B yx1 2 1 A C D 图 1 G 当点C运动到x轴上时 RtBCC RtAOB， BC CC OA OB CC OA OB BC 1 2 5 52，t 5 52 2（秒） 当 1 t 2 时，如图 2 A B AB5 ，A F5t5 A G 2 55 t B H 2 5 t SS梯形ABHG 2 1 (A GB H ) A B 2 1 ( 2 55 t 2 5 t ) 5 2 5 t 4 5 9 分 当点D运动到x轴上时 DD53 t 5 53 3（秒） 当 2 t 3 时，如图 3 A G 2 55 t GD5 2 55 t 2 553t DH53t 5 SDGH 2 1 ( 2 553t )(53t 5 )( 2 553t )2 SS正方形ABCD SDGH (5 ) 2( 2 553t )2 4 5 t 2 2 15 t 4 25 11 分 （4）如图 4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面 积 y xO A F B A C D 图 2 G H yx1 2 1 y xO A F B A C D 图 3 G H yx1 2 1 y xO A B C D E B A C D yx1 2 1 t3，BBAADD53 S阴影S矩形BBCC 13 分 BBBC 535 1514 分 20.已知：抛物线yx 2 2 xa（a 0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y 2 1 xa 分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N （1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ， ） ，N（ ， ） ； （2）如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N 恰好落在抛物线上，AN 与x轴 交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积； （3）在抛物线yx 2 2 xa（a 0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由 解：（1）M(1，a 1)， N( 3 4 a ， 3 1 a) 4 分 （2）点N 是NAC沿y轴翻折后点N的对应点 N C N x O A M B y D C N x O A M B y 备用图 点N 与点N关于y轴对称，N ( 3 4 a ， 3 1 a) 将N ( 3 4 a ， 3 1 a)代入yx 2 2 xa ，得 3 1 a( 3 4 a)22( 3 4 a) a 整理得 4a 29a0，解得a10（不合题意，舍去） ，a2 4 9 6 分 N (3， 3 4 )，点N到y轴的距离为 3 a 4 9 ，抛物线yx 2 2 xa与y轴相交于点A，A (0， 4 9 ) 直线AN 的解析式为yx 4 9 ，将y0 代入，得x 4 9 D( 4 9 ，0)，点D到y轴的距离为 4 9 S四边形ADCN SACN SACN 2 1 2 9 3 2 1 2 9 4 9 16 189 8 分 （3）如图，当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且 等于AC 将点N向上平移2a个单位可得到点P，其坐标为( 3 4 a ， 3 7 a)，代入抛 物线的解析式，得： 3 7 a( 3 4 a)2 2 3 4 aa，整理得 8a 23a0 解得a10（不合题意，舍去） ，a2 8 3 P ( 2 1 ， 8 7 )10 分 当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形， 则AC与PN互相平分 OAOC，OPON，点P与点N关于原点对称 P ( 3 4 a， 3 1 a)，代入yx 2 2 xa，得 3 1 a( 3 4 a)22( 3 4 a ) a，整理得 8a 215a0 解得a10（不合题意，舍去） ，a2 8 15 P( 2 5 ， 8 5 ) 12 分 存在这样的点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为 C N x O A M B y 备用图 P1 P2 ( 2 1 ， 8 7 )或( 2 5 ， 8 5 ) 21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0） 、C（8，0） 、 D（8，8） 抛物线yax 2bx过A、C两点 （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为t秒过点P作PEAB 交AC于点E 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G当t为何值时，线段EG最长？ 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形？请 直接写出相应的t值 解：（1）点A的坐标为（4，8） 1 分 将A（4，8） 、C（8，0）两点坐标分别代入yax 2bx， 得 0864 8416 ba ba 解得a 2 1 ，b4 抛物线的解析式为y 2 1 x 24x 3 分 （2）在 RtAPE和 RtABC中，tanPAE AP PE AB BC ，即 AP PE 8 4 2 1 PE 2 1 AP 2 1 t，PB8t 点E的坐标为（4 2 1 t，8t） 2 点G的纵坐标为 2 1 (4 2 1 t)24(4 2 1 t) 8 1 t 28 5 分 EG 8 1 t 28(8t) 8 1 t 2t 8 1 0，当t4 时，线段EG最长为 27 分 共有三个时刻 8 分 t1 3 16 ，t2 13 40 ，t34051611 分 22.如图，抛物线yx 22x3 与 x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧） ，与y轴 相交于点C，顶点为D （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作 y x O AD BC E F P G Q PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边 形？ 设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式 解：（1）A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） 2 分 抛物线的对称轴是：x1 3 分 （2）设直线BC的解析式为：ykxb 将B（3，0） ，C（0，3）分别代入得： 3 03 b bk 解得 3 1 b k 直线BC的解析式为yx3 当x1 时，y132，E（1，2） 当xm时，ym3，P（m，m3） 4 分 将x1 代入yx 22x3，得y4，D（1，4） 将xm代入yx 22x3，得ym 22m3 F（m ， m 22m3） 5 分 线段DE422，线段PF m 22m3(m3)m 23m6 分 PFDE，当PFDE时，四边形PEDF为平行四边形 由 m 23m2，解得：m12，m21（不合题意，舍去） 当m2 时，四边形PEDF为平行四边形 7 分 设直线PF与x轴交于点M 由B（3，0） ，O（0，0） ，可得：OBOMMB3 则SSBPF SCPF8 分 2 1 PFBM 2 1 PFOM 2 1 PFOB 2 1 ( m 23m)3 2 3 m 2 2 9 m（0m3） x y D C AOB x y D C AOB F M P E 即S与m的函数关系式为：S 2 3 m 2 2 9 m（0m3） 9 分 23.如图，在矩形 OABC 中，已知 A、C 两点的坐标分别为 A（4，0） 、C（0，2） ，D 为 OA 的 中点设点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合） （1）试证明：无论点 P 运动到何处，PC 总与 PD 相等； （2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式； （3）设点 E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时，PDE 的周长最小？ 求出此时点 P 的坐标和PDE 的周长； （4）设点 N 是矩形 OABC 的对称中心，是否存在点 P，使CPN90？若存在，请直接写 出点 P 的坐标 解：（1）点 D 是 OA 的中点，OD2，ODOC 又OP 是COD 的角平分线，POCPOD45 POCPOD，PCPD； 3 分 （2）如图，过点 B 作AOC 的平分线的垂线，垂足为 P，点 P 即为所求 易知点 F 的坐标为（2，2） ，故 BF2，作 PMBF PBF 是等腰直角三角形，PM 2 1 BF1 点 P 的坐标为（3，3） 抛物线经过原点 可设抛物线的解析式为yax 2bx 又抛物线经过点 P（3，3）和点 D（2，0） 024 339 ba ba 解得 2 1 b a 过 O、P、D 三点的抛物线的解析式为yx 2 2 x； 7 分 （3）由等腰直角三角形的对称性知 D 点关于AOC 的平分线的对称点即为 C 点 连接 EC，它与AOC 的平分线的交点即为所求的 P 点（因为 PEPDEC，而 两点之间线段最短） ，此时PED 的周长最小 抛物线yx 2 2 x的顶点 E 的坐标（1，1） ，C 点的坐标（0，2） 设 CE 所在直线的解析式为ykxb 则 2 1 b bk 解得 2 3 b k C(0,2) A(4,0) x y OD P B (0,2) A(4,0) x y OD P BC E F M CE 所在直线的解析式为y 3 x2 联立 x x y y 23 ，解得 2 1 2 1 y x ，故点 P 的坐标为（ 2 1 ， 2 1 ） PED 的周长即是 CEDE210； 11 分 （4）存在点 P，使CPN90，其坐标为（ 2 1 ， 2 1 ）或（2，2） 14 分 24.如图 1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4） ；矩形 ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD2，AB3 （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）将矩形ABCD以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿x轴的正方向匀速平行 移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为 t秒（0t3） ，直线AB与该 抛物线的交点为N（如图 2 所示） 当t 2 5 时，判断点P是否在直线ME上，并说