人教版高中数学1.1.2集合间的基本关系.ppt

1.1.2 集合间的基本关系 一、子集的有关概念 1.Venn图 通常用平面上_的内部代表集合. 用Venn图表示集合的优点：形象直观. 封闭曲线 2.子集 (1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 _一个元素_集合B中的元素，我们就说这两个集合有 _关系，称集合A为集合B的子集. (2)符号语言：记作_(或_)，读作“_”(或 “B包含A”). (3)图形语言：用Venn图表示. 任意都是 ABA含于B 包含 BA 3.真子集 如果集合_，但存在元素xB，且_，我们称集合A是 集合B的真子集，记作_(B A). 4.集合相等 如果集合A是集合B的_(AB)，且集合B是集合A的 _(BA)，此时，集合A与集合B中的元素是_的，因此 集合A和集合B相等，记作_. 思考：“”与“”有什么区别？ 提示：“”表示元素与集合之间的关系，而“ ”表示集 合与集合之间的关系. ABxA 子集 子集一样 A=B A B 二、空集及集合间关系具有的性质 1.空集：指的是_的集合，记作_，并规定： 空集是_的子集. 2.集合间关系具有的性质 (1)任何一个集合是它本身的_，即_. (2)对于集合A，B，C，如果AB，且BC,那么_. 不含任何元素 任何集合 子集AA AC 判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)集合0是空集.( ) (2)集合x|x2+1=0,xR是空集.( ) (3)空集没有子集.( ) 提示：(1)错误.集合0含有一个元素0，是非空集合. (2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集. (3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集. 答案：(1) (2) (3) 【知识点拨】 1.对子集概念的理解 (1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集 合B的元素，即有任意xA能推出xB. (2)不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”， 因为当A= 时，A B，但A中不含任何元素；又当A=B时，也有 A B，但A中含有B中所有元素，这两种情况都有A B. 2.对真子集的理解 对真子集概念的理解关键是“真”字，它包括两个方面：首先 是某集合的子集，其次不能与原集合相等. 3.对集合相等的理解 (1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合A中的元素 和集合B中的元素相同，则这两个集合相等. (2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即A B，则对 任意xA都有xB，同时B A，则对任意xB都有xA，这 说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等. 4.对空集的理解 (1)空集首先是集合，只不过此集合中不含任何元素. (2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 因此遇到诸如A B，A B的问题时，务必优先考虑A= 是否 满足题意，这也是初学者极易出错的地方. 5.对集合间关系具有的性质的两点说明 (1)对于任何一个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记. (2)集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关 系也具有传递性，即A B,B C,则A C. 类型 一 子集的有关概念 【典型例题】 1.(2013邵阳高一检测)集合a,b的子集个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若集合1,2M1,2,3,4，试写出满足条件的所有的集 合M. 【解题探究】1.一个集合的子集可以与其相等吗？空集是它 的子集吗？ 2.题2中满足条件的集合M一定含有哪些元素，可能含有哪些 元素？ 探究提示： 1.一个集合的子集可以与其相等，也可以是空集. 2.据条件分析，集合M一定含有元素1，2，可能含有元素3， 4. 【解析】1.选D.当子集不含元素时，即为 ；当子集中含有一 个元素时，其子集为a,b；当子集中有两个元素时，其子 集为a,b. 2.由于1,2 M，故1,2M，又M 1,2,3,4，所以符合条 件的集合M有：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4. 【互动探究】若把题2已知条件改为“已知1，2M 1,2,3,4”，则这样的集合M又有几个？ 【解析】1,2 M,M中至少有1，2两个元素，又M 1,2,3,4，故集合M可以是1，2，1，2，3，1，2，4. 【拓展提升】求一个集合子集个数的规律及注意点 (1)规律：含有n(n1且nN)个元素的集合的子集有2n个，有 2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集. (2)注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即 和集合本身. 【变式训练】(2013冀州高一检测)同时满足： M1,2,3,4,5,若aM,则6-aM的非空集合M有( ) A.16个 B.15个 C.7个 D.6个 【解析】选C.1+5=2+4=3+3=6,集合M可能为单元素集合： 3；二元素集合：1,5,2,4；三元素集合：1,3,5, 2,3,4,四元素集合:1,2,4,5,五元素集合：1,2,3,4,5， 共7个. 类型 二 集合间的包含关系的判断 【典型例题】 1.(2013亳州高一检测)下列关系中，表示正确的是( ) A.10,1 B.1 0,1 C.10,1 D.10,1 2.集合P=x|y=x2，集合Q=y|y=x2，则P与Q的关系为( ) A.PQ B.QP C.P=Q D.以上都不对 3.集合A2n1|nZ，集合B4k1|kZ，则A与B间 的关系是( ) A.AB B.A B C.AB D.A=B 【解题探究】1.表示元素与集合、集合与集合之间的关系分 别用什么符号表示？ 2.题2中判断两个集合之间的关系时，应先怎样处理集合？ 3.题3当n，kZ时，2n1，4k1分别表示什么数？ 探究提示： 1.表示元素与集合之间的关系用符号， 表示，表示集合与 集合之间的关系用 , 表示. 2.在判断两个集合之间的关系时，要先对集合进行分析、化 简，使每个集合的表现形式最简洁. 3.当n，kZ时，2n1表示奇数；4k1也表示奇数. 【解析】1.选A. 、 表示集合之间的关系，故B,C错误； 表示元素与集合之间的关系，故D错误. 2.选B.P=x|y=x2=x|xR， Q=y|y=x2=y|y0，故Q P. 3.选D.整数包括奇数与偶数，n2k或2k1(kZ)，当n 2k时，2n14k1，当n2k1时，2n14k1，故 AB. 【拓展提升】集合间关系的判断方法 (1)判断A B的常用方法，一般用定义法，即说明集合A中的 任何一个元素都是集合B中的元素. (2)判断A B的方法，可以先判断A B，然后说明集合B中存 在元素不属于集合A. (3)判断A=B的方法，可以证明A B，且B A；也可以证明两 个集合的元素完全相同. 【变式训练】(2013肇庆高一检测)下列各组集合M与N中，表 示相等集合的是( ) A.M=(0,1),N=0,1 B.M=(0,1),N=(1,0) C.M=(0,1),N=(x,y)|x=0且y=1 D.M=,N=3.14 【解析】C.对A，由于集合M是点集，集合N是数集，故M和N不相 等；对B，虽然都是点集，但元素表示不同的点，故M和N不相等 ；对D，由于是无理数，3.14是有理数，故M和N不相等. 类型 三 由集合间的关系求参数问题 【典型例题】 1.(2013长春高一检测)已知集合A=2,9,B=m2,2，若A=B, 则实数m的值为( ) A.3 B.2 C. D.3 2.已知集合A=x|ax5,B=x|x2，且满足AB，求实 数a的取值范围. 【解题探究】1.两个集合相等，其元素有什么关系？ 2.当两集合是连续数集时，如何确定它们的包含关系？ 探究提示： 1.两个集合相等，其元素是相同的. 2.两个集合为连续数集时，可用数轴来分析它们的关系，并 以此来确定它们的包含关系. 【解析】1.选D.A=2,9,B=m2,2,A=B， m2=9，m=3. 2.当a5时，A= ，此时有A B; 当a5时，要使A B，如图，需a2，所以2a5. 综上，a的取值范围为a2. 【拓展提升】由集合间的关系求参数的方法及注意点 (1)对于用列举法表示的集合，根据集合间的包含关系，可直 接转为元素间的关系，此时应注意元素的互异性. (2)对于用描述法表示的集合，特别是元素个数无限的数集， 可借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示 出来，以形定数，此时要注意对端点值验证. 【变式训练】已知集合A=x|-3x4，集合B=x|2m-1x m+1，且BA，求实数m的取值范围. 【解题指南】可就集合B是否为空集进行讨论，根据B A列出 有关不等式(或组)，进而求出实数m的取值范围. 【解析】B A，(1)当B= 时，即2m-1m+1，亦即m2时， 满足要求. (2)当B 时，则有 解得-1m2. 综上所述，实数m的取值范围是m-1. 【规范解答】根据集合间的关系求参数取值范围问题 【典例】 【条件分析】 【规范解答】(1)当a=0时，A= ,满足条件.3分 (2)当a0时，分两种情况: a0时，A=x| 0, a2.7分 当a0时，A=x| x 9分 A B, a-2.11分 综上可知，a-2或a=0或a2.12分 【失分警示】 【防范措施】 1.特别关注空集 此题含有条件A B，解答此类含有集合包含关系的问题时， 一定要考虑集合A是否为空集，此类问题往往因为对空集的关 注不够而出现不必要的失误. 2.分类讨论的意识 本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况， 即需要分a=0,a0,a0三种情况讨论，也就是在解题时要有 分类讨论的意识. 【类题试解】已知集合P=x|x2+x-6=0，M=x|mx-1=0，若 M P，求满足条件的实数m取值的集合Q 【解析】P=x|x2+x-6=0=-3,2.M P，M= 或M . (1)当M= ，即m=0时，满足M P. (2)当M ，即m0时，M=x|mx-1=0= ，M P，则必有 =-3或2，解得m= 或 . 综上所述，Q=0, , . 1.下列集合不是0,1的真子集的是( ) A.1 B.0 C.0,1 D. 【解析】选C.集合不是它本身的真子集，故选C. 2.已知集合M=1，N=1，2，3，能够准确表示集合M与N之 间关系的是( ) A.MN B.MN C.NM D.M N 【解析】选D.集合M中元素都在集合N中，但是N中元素 2，3 M，M N 3.已知集合Ax|x23x20，B1,2，C x|x8,xN,用适当符号填空： A_B，A_C，2_C,2_C. 【解析