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1 二次根式二次根式经经典典资资料料 知识点一：知识点一： 二次根式的概念二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没 有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而， 等都不是二次根式。 知识点二：取值范围知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根 式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。 知识点三：二次根式知识点三：二次根式（）的非负性）的非负性 （）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（） 。 注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所 以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质， 和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若， 则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。 知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（） 的性质的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用： 若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即 ；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即； 2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一 个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都 是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：知识点七：二二次次根根式式的的性性质质和和最最简简二二次次根根式式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2 等 （3）最终结果分母不含根号。 知知识识点点八八： 二二次次根根式式的的乘乘法法和和除除法法 1.积的算数平方根的性质 ab=ab（a0，b0） 2. 乘法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平 方根。 3.除法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。 4.有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因 式。 知知识识点点九九： 二二次次根根式式的的加加法法和和减减法法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做 同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 知知识识点点十十： 二二次次根根式式的的混混合合运运算算 1 确定运算顺序 2 灵活运用运算定律 2 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要及时 5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知知识识点点十十一一： 分分母母有有理理化化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:a/b=ab/bb=ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如 1/ab=ab/(ab)(ab)=ab/ab 如图 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 “二次根式二次根式”经经典典练习题练习题 【典型例题】 一一. 利用二次根式的双重非负性来解题利用二次根式的双重非负性来解题（a0） ，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 ）0a 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ） 。 A、； B、； C、； D、3x1 2 x1x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2） （3） （4） （5）;2x 12 1 x xx21 4 5 x x 12 1 3 x x （6）若，则 x 的取值范围是 （7）若，则 x 的取值范围是 1) 1(xxxx 1 3 1 3 x x x x 。 （7）注：（书写格式（4）由 5+x0 且 x+40 得 x5 且 x4当 x5 且 x4 时代数式在 4 5 x x 实数范围内有意义） 3.若有意义，则 m 能取的最小整数值是 13m 4.若是一个正整数，则正整数 m 的最小值是_20m 5当 x 为何整数时，有最小整数值，这个最小整数值为 。1110x 6. 若若，则，则=_=_20042005aaa 2 2004a 7若，则 433xxy yx 8. 设设 m、n 满足满足，则，则= 。 3 299 22 m mm nmn 9. 若适合关系式，求的值m35223199199xymxymxyxym 10.若三角形的三边 a、b、c 满足=0，则第三边 c 的取值范围是 344 2 baa 11.方程，当时，m 的取值范围是（ ） 0|84|myxx0y A、 B、 C、 D、10 m2m2m2m 二利用二次根式的性质利用二次根式的性质=|a|=(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题来解题 2 a )0( )0(0 )( aa a baa 3 1.已知x，则（ ） 23 3xx 3x A.x0 B.x3 .x3 D.3x0 2.已知 aS2 B. S1=S2 C. S1CD，求证：BDAC。 【变式 4】如图 2-44 所示ABCD 是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC 且 ABAC，BD=BC，AC，BD 交于 O.求 BCD 的度数 【变式 5】 如图 2-45 所示直角梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，ADC=135，CD 的垂直平分线交 BC 于 N，交 AB 延长线于 F，垂足为 M求证：AD=BF 【变式 6】例例如图 2-46 所示直角梯形 ABCD 中，C=90，ADBC，AD+BC=AB，E 是 CD 的中点若 AD=2，BC=8，求ABE 的面积 【变式 7】 （过顶点作高）已知 AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE 五、作中位线五、作中位线 1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。 例例 9如图 9，在梯形 ABCD 中，AB/DC，O 是 BC 的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD。 28 2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三 角形中位线。角形中位线。 例例 10如图 10，在梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分别是 BD、AC 的中点，求证：（1）EF/AD；（2） )ADBC( 2 1 EF 【变式 8】 如图所示等腰梯形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC，BD 所成的角AOB=60，P，Q，R 分别是 OA，BC，OD 的中点求证：PQR 是等边三角形 【变式 9】 （过一腰中点作底边平行线构造中位线）已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABC 的平分线过 CD 的中点 E 3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。 例 10、在梯形 ABCD 中，ADBC， BAD=900，E 是 DC 上的中点，连接 AE 和 BE，求 AEB=2CBE。 【变式 10】如图，E 是梯形 ABCD 中腰 DC 上的中点， 作法图形 平移一腰，转化为三角形、平 行四边形 A A B B C C D D E E 作高，转化为两直角三角形和 一矩形 A A B B C C D D E EF F 延长两腰，转化为三角形 A A B B C C D D E E 平移一对角线，转化为三角形、 平行四边形 A A B B C C D D E E 连接一顶点与一腰的中点，构 造全等三角形 A A B B C C D D E E F F 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：40 分钟） 1. 若等腰梯形的锐角是 60，它的两底分别为 11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为（ ） A. 19B. 20C. 21D. 22 29 A A B BC C D D *3. 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，则梯形 ABCD 的面积为（ ） A. 130B. 140C. 150D. 160 A A B B C CD D E E *4. 如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，已知 ADBC，对角线 AC 与 BD 互相垂直，且 AD30，BC70， 求 BD 的长. A A B BC C D D 5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于 60，它的两底分别为 15cm 和 49cm，求它的腰长. A A B BC C D D 6. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC 于 E，求 DE 的长. A A B BC C D D E E 7. 如图所示，梯形 ABCD 中，ABCD，D2B，ADDC8，求 AB 的长. A A B B C C D D *8. 如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC， （1）若 E 是 AB 的中点，且 ADBCCD，则 DE 与 CE 有何位 置关系？（2）E 是ADC 与BCD 的角平分线的交点，则 DE 与 CE 有何位置关系？ A A B BC C D D E E 类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系） 1、已知：如图，四边形 ABCD 为矩形，四边形 ABDE 为等腰梯形，。 求证求证： 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，已知：在梯形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O. 求证求证：. 说明说明 本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等 高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用. 30 【变式 2】如图，已知：AD是的平分线，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. （2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. 说明：说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两 个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判 定平行的两边不相等的方法来解决 【变式 3】如图 2-43 所示在直角三角形 ABC 中，E 是斜边 AB 上的中点，D 是 AC 的中点，DFEC 交 BC 延长线 于 F求证：四边形 EBFD 是等腰梯形 与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析 李培华李培华 广东省化州市文楼中学广东省化州市文楼中学 525136 辅助线是解几何题的重要工具，也是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁。与平行四边形有关的辅助线有 哪些呢？下面本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴： 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例 1 如左下图 1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，ABCDFE,ACCFAE F 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段 即可） 连结 BFDEBF 证明：连结,设交于点 ODFDB,ACDB, 四边形为平行四边形 ABCDOBDOOCAO, 即FCAE FCOCAEAOOFOE 四边形为平行四边形 EBFDDEBF 图 2图 1 O O E C C A B D AB D E F 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例 2 如右图 2，在平行四边形中，对角线和相交于点 O，如果，ABCDACBD12AC ，那么的取值范围是（ ）10BDmAB m A B C D111 m222 m1210 m65 m 解：将线段沿方向平移，使得,则有四边形为平行四边形,在DBDCCEDB BEDC CDBE 中, ,ACE12AC10 BDCEmABAE22 ，即 解得 故选 A101221012m2222 m111 m 第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例 3 已知：如左下图 3，四边形为平行四边形ABCD 求证： 222222 DACDBCABBDAC 证明：过分别作于点，的延长线于点 FDA,BCAE EBCDF BCBEBCABBEBCBEABCEAEAC2)( 22222222 CFBCBCCDCFBCCFCDBFDFBD2)()( 22222222 则BEBCCFBCDACDBCABBDAC22 222222 四边形为平行四边形 且,ABCDABCDCDAB BCAD DCFABC 0 90DFCAEB DCFABECFBE 222222 DACDBCABBDAC 31 3 2 1 图 4 图 3 K P F E D C F E D A B CB A 第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。 例 4：已知：如右上图 4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求ABCDFE,CDDABECFP 证：ABAP 证明：延长交的延长线于点CFBA