[教育学]高数试题.doc

一、填空（每小题3分，共15分，将答案填在题中横线上，不填解题过程）1.过两点和且与平面垂直的平面方程是 .2.函数在点处的方向导数的最大值为 .3.曲面在点（）处的法线方程是 .4.交换二次积分的积分次序： .5.通解为（）为任意常数）的二阶常系数线性齐次微分方程为 .二、选择题（每小题3分，共15分。每小题有四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）1.函数在点（）处偏导数 存在是函数z在点（）存在全微分的（ ）A.充分非必要条件； B.必要非充分条件；C.充分必要条件； D.既非充分又非必要条件.2.设在（）处取得极大值，则函数在处和在处（ ）A.都取得极大值； B.至少有一个取极大值；C.恰有一个取得极大值； D.可能都不取极大值.3.设级数收敛，则必收敛的级数为（ ）A. B. C. D. 4.设 ，则等于（ ） A. B. C. D. 5.设是由方程所定义隐的隐函数，其中是变量的可微函数，a、b为常数，则必有（ ）A. ; B. ;C. ; D. .三、求解以下各题（每小题5分，共25分）1.一直线过点与直线：相交，且平行于平面：，求此直线的方程.2.设函数，其中f具有二阶连续偏导数，均可微，求 .3.求其中， .4.求微分方程的满足的特解.5.求，是球体在第一卦限的部分.四、（8分）在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小，求此最小体积.五、（8分）设半径为的球，其球心在半径为（为常数）的定球面上，问为多少时，前者夹在定球内部的表面积最大.六（8分）计算，L为正向圆周 .七、（8分）计算，其中为球面的下半部分的上侧.八、（8分）求级数的收敛域，并求和函数.九、（5分）设是以为周期的连续函数，证明方程存在有唯一的以为周期的待解，并求其特解.一、填空（每小题3分，共9分，将答案填在题中横线上，不填解题过程）1.过点（1，2，-1）且垂直于平面的直线方程是 .2.函数在点P（1，1）处的梯度grad ；矢量场在点Q（1，1，0）处散度 = . 3.设为某一阶常系数齐次微分方程的通解，则该方程为： .二、选择题（每小题3分，共9分，每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）1.函数在点（）处偏导数，存在是它在该点存在全微分的（ ）.A.充要条件； B.充分但非必要条件；C.必要但非充分条件； D.既非充分又非必要条件2.设空间区域，z0；，x0，y0，z0.则（ ）.A. ; B. C. ; D. 3.设为的以为周期的傅立叶正弦级数的和函数，则等于（ ）.A.1+ ； B.1； C. ； D.-1.三、求解下列各题（每题6分，共36分）1.求平行于平面，且与三坐标面所成四面体体积为1的平面方程.2.设函数，其中二阶可导，具有二阶连续导数，求， .3.计算二重积分4.计算曲面积分，为锥面，外侧在0z1的部分.5.将展成x幂级数，并指出收敛区间.6.求微分方程满足的特解.四、求内接于半径为R的半球且有最大体积的长方体.（8分）五、设连续，而，求及 .（8分）六、求由球面与锥面所围均匀物体（体密度为）对z轴的转动惯量.（8分）七、计算曲线积分，式中L是由，及在第一象限所围区域D的正向边界.（8分）八、设的全微分其中有二阶连续导数，并且，试求 .（8分）九、设级数，其中0，若存在正数b，使得（n=1,2,）.试证明级数收敛.（6分）一、填空（每小题3分，共9分，将答案填在题中横线上，不填解题过程）1.设z=1n（1+xy），则 dz= .2.极限 = .3.设f（x）是以4周期的周期函数，它在定义为f（x）= 则傅里叶级数在x=2处收敛于 ，在x=1处收敛于 .二、选择题（每小题3分，共9分，每小题给出四种选择，其中有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）1.设L是一光滑曲线，为了使曲线积分 (x，y)dx+xF(x，y)dy与积分路径无关，则可微函数F(x，y）应满足条件（ ）.A. ； B. ;C. ; D. .2.微分方程的特解形式是( ).A.; B.; C.; D. .3.如果幂级数在处条件收敛，那么该级数的收敛半径（ ）.A一定为2； B.一定大于2; C.一定小于2; D.不能确定.三、求解下列各题（每题6分，共24分）1 设函数z=z（x，y）由方程所决定.求 .2 求经过两相交直线及的平面方程 .3 将二重积分化为二次积分，其中区域D为 所围成的第一象限的部分.4 设函数,点（1，2，3）点A(1,2,-1),点B（2，4，1，），方向，求函数f在点P处的梯度；求函数f在点P处沿的方向导数.四、 设z= 求 . （8分）五、 求其中为平面在第一卦限中的部分. （8分）六、 计算其中曲面为z1）的下侧.（8分）七、 求，其中为在第一卦限部分的三角形边界，从y轴正方向看去，方向顺时针.（8分）八、 求幂级数的收敛半径，并求和函数.（8分）九、 设正项数列an单调减少，且发散，证明级数收敛。（8分）十、 现有每公升含0.3千克食盐的水溶液，以每分钟2公升的速度将其连续注入盛有10公升纯水的容器里。溶液到容器里经过稀释后又以同样的速度自容器中流出，用表示t时刻容器中的含盐量. (满分5分)(1) 列出在这段时间内含盐量改变量的关系式；(2) 求.