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1-4 复变函数的极限和连续 一、复变函数的极限 二、复变函数的连续性 1 定义：设函数 在复平面上已给点集E 上确定，A为E 的一个聚点， 为一复常数 ，如果对任意 , 存在 ，使 当 且 时，有 则称当z 在E 中趋于 时, 趋于极限 A ，记作 2 zz0的路径无穷，不能都列举 3 复变函数在一点的极限可用两个二元实 函数在一点的极限来讨论，即 且 4 定义：设函数 在复平面上已给点集E上确定， 为 E 的一个聚点，且 ，如果对任意 ，存在 ，使当 且 时，有 则称函数 在 点连续 ，若 在E 中每一点都 连续，则称 在E连续. 5 定理：复变函数f(z)在点z0=x0+y0连续的 充要条件是实部和虚部的两个二元函数 在点(x0,y0)都连续。 6 与数学分析中的连续函数一样，我们可类似 地证得以下定理 定理1 若函数 与函数 均在点 连 续，则 和 在点 连续进一步，如果 ，那么 在点 连续。 7 定理2 函数 在简单曲线 或者有界闭区 域 上连续，则 在它上为有界函数； 在它上能取到最大值与最小值； 在它上一致连续，即对任意的 ,存在 ，使当 或者 且 时，有 8 定义：如果对于任给定常数 ，存在 ，使当 ， 时，有 则称当z在E 中趋于 时 趋于无穷大 ， 记作 9 定义：如果对于任给定常数0 ，存在 ，使当 且 时，有 则称当z 在E 中趋于无穷大 时 趋于 ，记作 10 函数在某点处连续性的判别 基本解法： (1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是 否连续 n若都连续，则f(z)在z0连续 n若不连续，则 f(z0)无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在 不存在或存在但 只需验证 在某方向上 或存在某方向 时，有 或 11 证明argz在原点和负实轴不连续 由于 是分段定义的二元函数 当y0或y0时有 即当 且 时，函数的极限值等于在点(x0,0)处 的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在 正实轴连续。 12 (2) argz在z=0点无意义，因此不连续 所以分段定义的二元函数argz在y=0且x0这些点处不连续 (3) 在y0，x0的半直线上 可是 综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处 连续。 f(z)=|z|的连续性？ 是复变实值函数，是x,y的二元连续函数， 因此在整个复平面上连续。 P26,4 证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实 轴上不连续性。 13 函数极限的求法和极限不存在的判别法 方法1： 当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一 点处连续的定义来求极限。即 方法2： 当不能判断f(z)在z0点是否连续时， 首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。 然
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