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第八章 非线性控制系统分析练习题及答案 8-2 设一阶非线性系统的微分方程为试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。 解 令 得系统平衡状态其中： ：稳定的平衡状态； ：不稳定平衡状态。计算列表，画出相轨迹如图解8-1所示。 -2 -1 0 1 2 -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 11 2 0 1 0 2 11图解8-1 系统相轨迹 可见：当时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当时，系统发散；时，; 时，。注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个平面上任意分布。 8-3 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。 (1) (5) 解 （1） 系统方程为 令，得平衡点：。系统特征方程及特征根： 计算列表 - -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 -1 -2/3 0 2 - -4 -2 -4/3 -1 -1 -4/3 -2 -4 2 0 -2/3 -1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（）所示。图解8-2（）系统相平面图（5） 由式： 式代入： 即 令 得平衡点： 由式得特征方程及特征根为 （鞍点）画相轨迹，由式 计算列表 22.5311.52 =1/(-2)210-1-2用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（）所示。 8-4 若非线性系统的微分方程为 (1) (2) 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解（1） 由原方程得 令 得 解出奇点 在奇点处线性化处理。在处： 即 特征方程及特征根 （不稳定的焦点） 在处 即 特征根 （鞍点）概略画出奇点附近的相轨迹如图解8-4（1）所示： （2） 由原方程 令 得奇点 ,在奇点处线性化 得 即 特征根 。奇点（中心点）处的相轨迹如图解8-4(2)所示。 8-5 非线性系统的结构图如图8-36所示。系统开始是静止的，输入信号，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解 由结构图，线性部分传递函数为得 由非线性环节有 由综合点得 将、代入得开关线方程为 令 得奇点 特征方程及特征根 （中心点） III：令 得奇点 特征方程及特征根 （中心点）绘出系统相轨迹如图解8-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。 8-10 已知具有理想继电器的非线性系统如图8-38所示。图8-38 具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析： （1）时系统的运动； （2）时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）时系统的运动特点。 解 依结构图，线性部分微分方程为 非线性部分方程为 开关线方程： 由综合口： 、代入并整理得在 I 区： 解出： （抛物线）同理在 II 区可得： （抛物线）开关线方程分别为 时， ; 时，;时，.概略作出相平面图如图解8-7所示。图习题集P178 T8-10由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。8-12 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为 (1) (2) (3) 试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？ 解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解8-10所示。由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。 8-14 将图8-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。 图8-40 非线性系统结构图 解 (a) 将系统结构图等效变换为图解8-11（a）的形式。 (b) 将系统结构图等效变换为图解8-11(b)的形式。 8-17 已知非线性系统的结构图如图842所示图8-42 8-13题图图中非线性环节的描述函数为试用描述函数法确定： （1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 解 （1） N(A)单调降，也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线和曲线如图解8-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。 求使 的值：令 得 令 可得出K值与系统特性之间的关系： （2）由图解8-13可见，当和相交时，系统一定会自振。由自振条件 解出 8-18 非线性系统如图8-44所示，试用描述