毕业论文--方程思想探究及其解题妙用.doc

惠州学院数学系2013届毕业论文 目录1引言12.方程的发展历程及其思想价值22.1方程发展简史22.2方程思想中的教育价值42.3方程思想与中学数学的密切关系53.方程思想的运用63.1 运用方程思想解代数题63.2运用方程思想解几何题73.2.1用方程思想解常见中考几何题83.2.2运用方程思想解答高考题中曲线方程问题93.3运用方程思想解函数题153.3.1方程思想在高考题中的应用153.3.2方程思想在三角函数中的运用173.4运用函数方程思想解函数题173.4.1函数方程的几种解法173.4.2几个重要的二元函数方程183.5运用方程思想解决最值问题203.6微分线性方程思想求解矩阵的特征值和特征向量214.结束语22致谢辞23参考文献23方程思想探究及其解题妙用数学与应用数学 陈冬霞 指导老师 潘庆年（广东惠州学院数学系 2009级（1）班 ，广东惠州516007）（E-mail：523245700）摘要：本文首先介绍方程的历史发展及其思想价值，然后研究方程思想的运用，运用包括：方程思想在代数、几何（中考、高考）、函数（一般函数、三角函数、函数方程）、最值问题、特征值特征向量方面的解题应用，揭示了方程思想在中学甚至大学数学解题中的重要地位及其运用.关键词：方程思想 ；解题；中考题；高考题 1引言 长期以来, 传统的数学教育只注重数学知识的传授, 忽视了知识发生过程中数学思想方法的教学, 这有悖于数学学习客观规律.数学思想方法比形式化的数学知识更具有普遍性,在学生未来工作和生活中有更加广泛的应用.正如日本数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育之后所说的一句话: “学生们在中学所学到的数学知识在进入社会之后几乎没什么机会应用, 因而这种作为知识的数学通常在出校门之后一两年就忘了, 然而不管他们从事什么业务工作, 那种铭刻于脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们工作和生活中发挥着作用.”方程思想，顾名思义，也就是具有方程的思想，要了解方程思想，首先要知道什么是方程.目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式.但是，形如，之类的等式难以界定. 给出一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系.好处在于： 它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数； 陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系； 方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系. 在高等数学中方程的定义：形如的等式叫做方程，其中，是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数.陈重穆教授指出，方程的逻辑定义不必深究，到时关于未知数的思想，需要特别关注，即帮助学生树立方程的思想.方程和方程思想是有区别的，方程属于知识体系，方程思想属于思维体系.方程思想是对方程知识的全面升华，是充满活力的方程知识的体现.那究竟什么是方程思想呢？ 在标准中关于方程思想阐述了这样一个观点：（1）方程是刻画现实世界的有效模型；（2）方程没有一般解法；（3）特殊方程用特殊解法.张奠宙显示曾经指出方程思想在于“方程思想是一座桥梁，一座联系已知和未知的桥梁.”总的来说对问题中数量关系的分析入手，应用数学语言将数量关系转化为数学模型，使问题获解的思想方法，称为方程思想.2.方程的发展历程及其思想价值2.1方程发展简史 任何事物的发展都有一个过程,人类对方程的研究也经历了漫长的岁月. 公元前2000年-公元前1700年,古埃及纸草上的方程(如兰德纸草书、柏林纸草书等)中就已经用“试位法”精确地得到一元一次方程的解,但对于二次以上的方程,这种方法只能给出近似解.公元前2000年左右,古巴比伦人就已经掌握了解一些一元二次方程的方法希腊数学家丢番图算术中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程.印度数学家阿耶波多在阿耶波多历数书中给出了二次方程的求解方法.婆罗摩笈多在公元628年完成的婆罗摩笈多修正体系一书中，也给出了一般二次方程的求根公式. 花拉子米的代数学一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的.该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述. 中国古代数学著作九章算术中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题.“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？”九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源. 采用分离系数的方法表示线性方程组、用直除法解线性方程组这是世界上最早的完整的线性方程组的解法,西方直到十七世纪才由莱布尼兹提出了许多隐含了函数与方程思想的著名趣题,如“五家共井”(“方程”章第十三题)、“百鸡问题”(张丘建算经下卷第三十八题)、“韩信点兵孙子问题”(孙子算经)等在民间传说着公元3世纪,赵爽的勾股圆方图说给出了形如的二次方程的求解步骤. 公元7世纪王孝通的缉古算经中解决了不少三次方程求解的实际问题 公元13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献.1247年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法.李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303年）能够求解一大类的高次联立方程.16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式16世纪,方程解法有了重大的突破,费罗和塔塔利亚分别在1515年和1535年给出了三次方程的代数解法1545年，卡尔丹在大衍术中给出了三次方程和四次方程的解法.三次方程的解法，实质是考虑恒等式，若选取，使得 , 不难解出，,，于是得到就是所求的x，后人称之为卡尔丹公式.此后很长的一段时期里,人们幵始讨论一般的五次方程的解法,欧拉和拉格朗日都进行了尝试,但都以失败告终直到19世纪,鲁菲尼和阿贝尔都证明一般的五次及以上的方程没有求根公式.2.2方程思想中的教育价值帮助学生树立方程的思想，是数学“双基”的重要内容，不可忽视.以下是一个真实的例子.20世纪70年代，上海第51中学的一位毕业生到和平饭店担任电工.工作中，他发现12楼客房的室温，和地下室设定的文档有差异.细究原因，乃是连接地下室和12楼空调器的三根导线不一样长，于是电阻也不同.那么如何测这三根电线的电阻？用万能表肯定不行.于是这位电工想到了数学，想到了方程.尽管单根电线的电阻很难预测知，但是12楼上两根电线连接起来，在地下室测量两根电线的电阻却是轻而易举的.于是，他列出了以下的方程 解这样的联立方程是每个初中生都会做的，但是能够在测量电阻时想到运用方程思想求未知数，却是很不容易的.这也是为什么要培养初中生方程思想的原因了韦达在他的5分析方法入门6(巧91)著作中,首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算,提出符号运算与数的区别,规定了代数与算术的分界韦达是第一个试图创立一般符号代数的的数学家,他开创的符号代数,在17世纪经笛卡尔改进后成为现代的形式笛卡尔用小写字母a,b,C等表示己知量,而用x,y,z代表未知量这种用法己经成为当今的标准用法,它为方程理论的现代化奠定了基础. 同时,笛卡尔在指导思维的法则一书中还提出了一种解决一切问题的“万能方法”,其模式是:(1)把任何种类的问题转化为数学问题;(2)把任何种类的数学问题转化为代数问题;(3)把任何种类的代数问题转化为方程(组)问题然后讨论方程(组)的问题,得到解之后再对解进行解释就可以了这一模式现在看来虽不能说是万能,但在处理数学问题时确有广泛的应用其中,“把任何种类的数学问题转化为代数问题”蕴含了设未知数的思想,然后再“把任何种类的代数问题转化为方程(组)问题”,因此这种数学思想可看成是方程的思想方法. 学生学习方程的意义在于：一是学习在生活中从错综复杂的事情中将 最本质的东西抽象出来,这个过程是非常难的,也很有训练的价值;二是在运算 中遵循最佳的途径,将复杂的问题简单化,这种优化思想对人的思维习惯的影响是深远 .在中小学数学中最害怕将方程间题形式化.希尔伯特的形式化对数学有很大的贡献,但是,在中学时期,过早地形式化、过度形式化对学生害大于益!方程思想包含三层意思:数与符号的统一关系的思想;用方程的观念考察和解决其它知识领域的相关问题的思想;从其它知识体系中提取方程问题的思想.中学生掌握一定的方程思想是时代的需要也是数学学习的需要.中学生掌握一定的方程思想是对中国数学文明的发展和继承,具有广泛的现实意义.2.3方程思想与中学数学的密切关系高中阶段对方程学习有较高的要求，无论是领会方程与函数的关系还是代数方程与几何学图形之间的关系，都与方程有关，包括：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等.可见方程思想无处不在，要求学生掌握方程思想，是中学生解决问题的重要途径之一. 题海茫茫，何处是岸？鉴于方程在数学中的重要作用和基础地位，如全日制义务教育数学课程标准第三学段中明确提出了“方程与方程组”的教学目标.数学大师陈省身先生曾经说过：数学有“好”数学和“不大好”的数学之分.方程，就是“好”的数学的代表，它是最基本的解题方法之一，也是中学生解题的重要搭建平台. 数学课程标准解读（实验稿）指出：“中学数学的基础知识主要是中学代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法.”这里把数学思想方法列为基础知识的重要组成部分体现了义务教育的性质任务，有利于揭示知识的精神实质，有利于提高学生的数学素养.因此，在整个初中数学教学工作中，必然要把数学思想方法和知识，技能融为一体，放到突出的位置上. 为了更好的说明方程思想的重要性，下面将用例子说明.3.方程思想的运用要准确灵活运用方程思想，要知道方程的种类有哪些，下面是方程的分类： 方程的分类多种多样，下面从几种典型方程作为探究对象，利用它们的性质解题.3.1 运用方程思想解代数题（1）利用方程的韦达定理 例1：已知方程的两个根，求的值.解：根据韦达定理知:,所以 0因为= 又所以=评析：初中运用韦达定理非常广泛，在做题时要掌握两根之和，两根之积的值，然后直接运用到所求问题中.（2） 利用根与系数的关系求出已有跟的多项式（高等代数第四版68页）根据根与系数的关系，若多项式，有以下形式： . 例2：求有单根5与-2以及二重跟3的四次多项式， ，因此所求多项式是或，其中3.2运用方程思想解几何题有许多平面几何问题从表面上看, 与方程没有多少直接联系, 但是认真分析这些问题的数量关系, 通过建立方程, 可得到问题的解.3.2.1用方程思想解常见中考几何题（1）基础题 例3：(1998 年北京市) 如图1, 在中，D是BC边上的一点，DEAB与E，,若DE:AE=1：5，BE=3，求的面积.解析：不妨假设DE=，那么AE=此时，可求出用表示的BD边长度，在直角三角形ADE中，DE和AE知道，根据勾股定理可求出用表示的AD的长度，又故AC=CD斜边知道，在大直角三角形ABC中，AC=，BC=+，AB=3+，可求出的值来.那么AC，BD的长度也可知，即ABD面积可求. 分析：本案例是几何求值综合题，因此要引导学生仔细分析，利用正方形构成直角三角形布列等式，从而得出解题方法. （2） 动点问题 例4：如图，在直角梯形中,点是上的一个动点（不与重合）过点作/交于点(当运动到点时，与重合）把沿对折，点的对应点是点设，与梯形重叠部分的面积为(1) 求的长(2) 若点恰好在上，求此时的值(3) 求与支架的函数关系式，并求当为何值时，的值最大？最大值是多少？解：（1）过点作垂直于点，因为，所以,又易知是矩形，所以(2) 由（1)知，且所以,故与重叠，当点恰好在上时，可知,，有，解得(3) 如图3所示，当时，阴影部分的面积等于的面积减去空白部分的面积空白部分的面积与面积成比例，所以当时，3.2.2运用方程思想解答高考题中曲线方程问题（1） “火眼金睛”看题目，方程思想最优法 例5：(广东深圳市调研考试题）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为.（1） 求曲线的方程；（2） 设是曲线上的一个定点，过点作任意两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两个点.证明：直线斜率为定值；记曲线位于两点之间的那一段为，若点在上，且点到直线的距离最大，求点的坐标.解：（1）解法一：设，因为点在圆上，且点关于圆的对称点，所以，且圆的直径为，由题意，动圆与轴相切，所以，两边平方整理得，所以曲线的方程为解法二：因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，连接,因为关于圆心的对称点为，所以为圆的直径.过点作轴，垂足为,过点作轴，垂足为.在直角梯形中，即动点到定点的距离比到轴的距离大1，又动点位于轴的上方，所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等.故动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线.所以曲线的方程为（2) 证法一：由题意，直线的斜率存在且不为零，设直线AP的斜率为,则直线的斜率为.因为是曲线：上的点，所以，直线的方程为 .由 解得 或， 所以点坐标为以替换，得的坐标为所以直线的斜率为为定值.证法二：因为是曲线：上的点，所以，.又点在曲线：上，所以可设，而直线、的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即整理得：，所以直线的斜率为为定值解法一：由可知，所以直线方程为，整理得.设点在曲线段上，因为两点的横坐标分别为和所以点的横坐标在和之间即所以，从而，点到直线的距离为当时，又所以点在曲线段上，所以点的坐标是解法二：由可知，若点在曲线段上，且点到直线的距离最大，则曲线在点处的切线设：，由方程组消去，得令解得代入方程组，解得所以点的坐标是评析：从以上的解法我们发现，无论是第（1)问还是第（2）中的，运用设元解方程组的方法更有利于解答，可缩小运算量，易理解.(2）方程思想在圆锥曲线上的应用 例6.【2012高考真题浙江理21】椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。解：()由题：； (1)左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为： (2)由(1) (2)可解得：所求椭圆C的方程为：()易得直线OP的方程：yx，设，R(x0，y0)其中y0x0A，B在椭圆上，设直线AB的方程为l：y(m0)，代入椭圆：显然m且m0由上又有：m，|AB|点P(2，1)到直线l的距离表示为：SABPd|AB|，当，即m3 或m0(舍去)时，(SABP)max此时直线l的方程 （3）利用参数方程思想解题 例7：与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围分析：、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、的一个不等式，转化为关于的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程解：设椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，即，解得或，（舍去），又，又，说明：若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使如何证明？当题目的条件和问题转化时，依然可用参数方程思想来解答，把结果逆推即可. 3.3运用方程思想解函数题3.3.1方程思想在高考题中的应用 对于大多数的高考生而言，高考的最后一道压轴题是最令人头痛最令人费解的，也是得分率最低的一题.最后一道函数题通常是跟方程联系在一起，所以如何利用方程思想解函数方程，是高考时与别人拉开距离的重中之重.下面就以茂名的模拟高考中最后一题作为分析. 例8：已知函数，与轴的一个交点为（异于原点),与轴的交点为，在点处的切线为，在点处的切线为，/.(1) 求的值；(2) 已知实数,求函数，的最小值；(3) 令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，并且使得不等式 0当，有，得，同理所以由的单调性知从而有，符合题设当时，由的单调性知，所以，与题设不符当时，同理可得得，与题设不符综上所述可得：分析：此题知识点全面，首先要掌握基础知识，对于函数中的方程，要分类讨论充分利用不等式的性质，对于复杂的在题目中反复用的未知数整体可用具体一个字母代替.3.3.2方程思想在三角函数中的运用 例9：已知，求的值.解析：首先观察已知条件和所求式子，发现它们有一定的相似性，只是分子分母中的A和B换过来而已.根据，可设，那么，.那么函数就可以转化为方程式，把所设代入三角函数式中得：，通过整理方程得：，故，即.故其实所求式子与条件式子是同样的，其值都是等于1.看来，运用方程思想，解题难度明显降低了！3.4运用函数方程思想解函数题函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程.如、等.其中是未知函数3.4.1函数方程的几种解法(1)代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数（2）待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得（3）迭代法由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法（4）柯西法定理 若是单调（或连续）函数且满足、则3.4.2几个重要的二元函数方程在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解 例10：设上是连续的且恒不等于0，求函数方程 (1) 的解. 解：由数学归纳法易知 特別，取，则可得 (2) 在上式中取，可得， 在(1)式中，取，可得 因为我们假设不恒为0，所以 .在(2)式中，取，则可得(m为正整数) 在(1)式中，取，则可得 所以，对任意的有理数，. 又因有理数是实数的稠密子集，且上连续，所以 若，则 (3) 例11：设在正实数域上有定义，连续且不恒等于0，试求函数方程 (4) 的解. 解：由数学归纳法易知，对所有的正实数； 特別，取時，可知 (5) 所以，由(4)式可知 . 因此，对于任意的， . 取定，对任意的，存在，使得； . 令 ，则. (6) 这是函数方程()在整个正实数上连续时，唯一的解. 例12：设在实数上有定义，连续且不恒为0，求方程式 (7) 的解？ 解：任取，对任意的，存在 使得，(可取，) 将此代入(7)式可得 令，则 (8) 因为在上连续上连续. 故由例一可知，(8)有唯一的解 ，(是一个唯一固定的常数)，. . 故，令，则 (9)【注】：如在例三中，不要求为连续函数，则解未必是唯一的. 例如函数 (10) 不难看出它也是(7)的解.由此可见：方程思想在解决具体数学问题时起着不可小视的作用, 其适用的范围相较广，别是在处理中学数学问题时, 几乎可运用于中学数学的各个部分, 这从前面列举的各个例子中可以看到, 至于在解析几何、立体几何等不同数学分支中, 许多问题最终都是可以通过建立方程式, 运用方程思想来解决.3.5运用方程思想解决最值问题 近几年初中数学竞赛中, 经常出现最值问题, 考虑到构造方程, 利用方程思想是解决有关最值问题的良好途径. 例13：已知实数满足 求的最大值和最小值.解：令，则所以可变式为：去括号整理得：因为x是不为0的实数所以有：整理即得：所以可解得：即故的最大值是，的最小值是点评分析：要求的最值，题中没有直接给出关于x、y的等式，但给出了联系x、y的方程，所以可设参数k,沟通已知和未知的联系，这时问题就转变为求k值最值的问题了，利用根的判断定理可解出来.这是解题的关键. 例14：（北京市东城区高三综合复习）已知函数的最大值为,最小值为，则+的值为？解析：首先观察题目，我们可以对变形，那么如何求最大值、最小值呢？如果单独求的话，似乎比较难这时我们可以利用方程思想：令，此时，所以+的值为2主要是巧妙设元代替，如果单独算出最大最小值，不仅方法难，精确度也小.可见利用方程思想的巧妙性.3.6微分线性方程思想求解矩阵的特征值和特征向量 假设是一个常数矩阵，使得关于的线性代数方程组具有非零解的常数称为的一个特征值而非零解则称为的对应于特征值的特征向量次多项称为的特征多项式，次代数方程称为的特征方程. 例15：试求矩阵的特征值和对应的特征向量.解 ： A的特征值就是特征方程的根.解之得到，对应于特征值的特征向量必须满足线性方程组因此，满足方程组所以对应任意常数 ，有是对应于的特征向量类似地，对应于的特征向量为其中是任意常数4.结束语方程思想方法与方程知识的获得是相辅相成的，方程思想是对方程知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学方程规律的理性认识，能够使得学生更加深刻地领会方程所包含的思想方法及由此形成的数学知识体系，切实加强学生的创新和实践能力.本文通过方程思想的运用说明方程思想解题方面的巧妙性。致谢辞在论文写作过程中，遇到诸多困难，在这里我非常感谢我的论文指导老师-潘庆年教授的悉心指导，是他一次又一次的对我的论文提出不少改正意见，使得我的论文顺利完成.没有最好,只有更好，我将不断的去努力，改变现状的不足，也希望阅读此篇论文的老师、同学多多指正，我将不胜感激！参考文献1 张娟.初中学生对方程思想的理解D.华东师范大学,2007.2 张奠宙，张广祥.中学代数研究M. 北京:教育出版社, 2006.3 涂钊榕.高中数学函数与方程思想的研究D.福建师范大学,2012.4 张和瑞，郝鈵新. 高等代数M .北京:等教育出版社, 1997.5 天利新课标高考命题研究中心北京天利考试信息网新课标全国各省市高考模拟试题汇编M. 拉萨：西藏人民出版社, 2012.6天利新课标高考命题研究中心北京天利考试信息网广东省各市模拟试题M.拉萨：西藏人民出版社 , 2012.7 严丽香. 函数与方程思想知多少(上)J .数学教学通讯 ,2010