构造函数在解题中的应用(改3).doc

构造函数在解题中的应用山东省定陶县第一中学 谢于民 274100函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。函数思想在数学应用中占有重要的地们，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。下面我们就举例说明构造函数的方法在解题中的应用。一、 构造方程中的函数函数与方程有着密切的关系，对于条件中的方程若能巧妙构造出函数利用函数性质解题，则是一种创造性思维活动，往往可以使问题化难为易，避繁就简。例1 设x、y-,且求cos(x+2y)的值。解：由 2a=x+sinx 由 2a=(-2y)+sin(-2y)故构造函数 f(x)= x+sinx 则f(x)=f(-2y)因为f(x)=3x+cosx 0所以f(x)在-,上是增函数由f(x)=f(-2y) 得x=-2y即x+2y=0 所以 cos(x+2y)=1评：通过变换题设中给出的的方程组，可构造函数f(x)= x+sinx，然后转化为同一函数的两个函数值相等，再利用函数的单调性得出两自变量相等，进而得解。例2.已知分别满足lg=1004, 10=1004则等于（ ）A B 1004 C D 2008解：令f(x)=10 f(x)= f(x)= 由lg=1004 得lg= 所以 方程lg=1004的根 即为函数f(x)= 与函数f(x)=的图象交点A的横坐标，故可设A(,) 同理，方程10=1004的根 即为函数f(x)=10与f(x)=的图象交点B的横坐标 可设B（，） 因为f(x)= 图象关于y=x对称 f(x) =10与f(x) =lgx互为反函数 图象关于y=x对称 所以 A、B关于y=x对称 所以= 所以=1004 故选B 评：由已知方程的特点，构造函数f(x) =x、f(x) =、f(x) =10，把方程的根看作两函数图象交点的横坐标，利用三函数图象的对称性得出交点的对称性而得解。二、 构造不等式中的函数不等式的证明是高中数学中的一个常见问题，在各类考试中经常出现，许多学生往往感到有些困难，找不到思路，有些问题如果构造辅助函数利用函数性质来证明不等式，将思路简捷，而且有一定的方法和规律。例3. （2011 辽宁高考）函数f(x)的定义域为R,，f(-1)=2 对任意x R，f(x)2 ，则f(x)2x+4的解集为（ ）A (-1,1) B (-1, +) C (-,-1) D (-,+)解：令g(x)=f(x)-2x-4 则g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0又g(x)=f(x)-20所以g(x)在(-,+)上是增函数所以原不等式可化为g(x)g(-1)所以x-1故选B 评：f(x)解析式不具体，通过构造新的函数，借助函数的单调性，由函数值的大小转化为所求自变量x的取值集合。例4 已知数列 其中= =求证：证明：因为=所以= 令f(x)=x- 则f(x)=1- cosx 令f(x)=0 得cosx= 所以给定区间（0，） f(x)0 所以f(x)在（0，）上单调递减 所以f(x) f(0)=0 x （0，）即x 在（0，）上恒成立 又0所以sin所以评：因为=，而=启发我们构造函数 f(x)=x-去探索。三、 构造几何中的函数对于几何中的最值问题，很多情况下都是构造函数法，把动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。例5、如右图，已知在ABC中，C=90，PA平面ABC，AEPB交PB于E，AFPC于F，AP=AB=2，AEF=，当变化时，求三棱锥PAEF体积的最大值。解：因为PA平面ABC，BC 平面ABC，所以PABC。又因为BCAC， 所以BC平面PAC。而AF平面PAC，所以BCAF。又因为AFPC， ，所以AF平面PBC。而EF平面PBC，所以AFEF. 所以EF是AE在平面PBC内的射影。因为AEPB，所以EFPB，所以PE平面AEF。 在RtPAB中，因为AP=AB=2，AEPB，所以PE=，AE=，AF=sin，EF=cos。因为，所以所以，评：的变化是由AC与BC的变化引起的，要求三棱锥PAEF的体积，则需找到三棱锥PAEF的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。例6、已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足=2，点P在线段AB上，且（t是不为零的常数）。（1） 求点P的轨迹方程C；（2） 若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q（，3），求QMN面积S的最大值。解： 评：上例抓住了双曲线方程和椭圆方程中两个变量的联系，将目标函数构造成二元目标函数的表达式，由此求解最值，也使得运算过程更为简洁。构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于