江苏高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第7课二次函数与幂函数教师用书.docx

第7课 二次函数与幂函数最新考纲内容要求ABC二次函数幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在上单调递减，在上单调递增在上单调递增，在上单调递减对称性函数的图象关于x对称2.幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知幂函数f(x)x的图象过点(4,2)，若f(m)3，则实数m的值为_9由题意可知4222，所以.所以f(x)x，故f(m)3m9.3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_由题意知即得a.4二次函数f(x)2x2bx3(bR)零点的个数是_2因为判别式b2240，所以原二次函数有2个零点5(2017徐州模拟)已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b_.2f(x)x22x2(x1)21，f(x)在1，b上递增，即解得b2.求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式. 【导学号：62172036】解法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图象的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是8，即8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下变式训练1已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别及应用(1)设abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是_(填序号)图71(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_(1)(2)(1)由，知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知，错误，符合要求由知f(0)c0，ab0，x0，错误(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.角度2二次函数的最值问题(1)若xlog521，则函数f(x)4x2x13的最小值为_(2)已知函数f(x)x22ax1a在区间0,1上的最大值为2，求a的值. 【导学号：62172037】(1)4xlog521log52xlog5512x，令t2x，则有yt22t3(t1)24，当t1，即x0时，f(x)取得最小值4.(2)函数f(x)(xa)2a2a1图象的对称轴为xa，且开口向下，分三种情况讨论如下：当a0时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是减函数，f(x)maxf(0)1a，由1a2，得a1.当0a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a或a.0a1，两个值都不满足，舍去当a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是增函数，f(x)maxf(1)12a1a2，a2.综上可知，a1或a2.角度3二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，求实数a的取值范围解由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，适合；当x0时，a2.因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.规律方法1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.幂函数的图象与性质(1)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是_(填序号)图72(2)已知幂函数f(x)xm22m3(mN)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_(1)(2)1(1)令f(x)x，则42，f(x).(2)f(x)在(0，)上是减函数，m22m30，解得1m3.又mN，m1或m2.由于f(x)的图象关于y轴对称m22m3的值应为偶数，又当m2时，m22m3为奇数，m2舍去因此m1.规律方法1.幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断3若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.变式训练2(1)设a0.5，b0.9，clog50.3，则a，b，c的大小关系是_(2)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_(1)cab(2)(1)a0.50.25，b0.9，所以根据幂函数的性质知ba0，而clog50.30，所以ca0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立易错与防范1对于函数yax2bxc，若是二次函数，就隐含着a0，当题目条件中未说明a0时，就要分a0，a0两种情况讨论2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点课时分层训练(七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1(2017南通第一次学情检测)设幂函数f(x)kx的图象经过点(4,2)，则k_.由题意可知k1,4a2，k1.2函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为_. 【导学号：62172038】13函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为直线x，由函数f(x)的增减区间可知2，m8，即f(x)2x28x3，f(1)28313.3若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则m的取值是_1或2由幂函数性质可知m23m31，m2或m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1m2，m2或m1.4函数yx(x0)的最大值为_令t，则t0，所以ytt22，结合图象(略)知，当t，即x时，ymax.5已知函数f(x)ax22ax1b(a0)若f(x)在2,3上的最大值为4，最小值为1，则a_，b_. 【导学号：62172039】10因为函数f(x)的对称轴为x1，又a0，所以f(x)在2,3上单调递增，所以即解方程得a1，b0.6已知P2，Q3，R3，则P，Q，R的大小关系是_PRQP23，根据函数yx3是R上的增函数且，得333，即PRQ.7对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_(4,4)由题意可得解得4a4.8若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于_. 【导学号：62172040】1函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a，或解得a1.9已知函数f(x)x22ax5在(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，则实数a的取值范围是_2,3f(x)(xa)25a2，根据f(x)在区间(，2上是减函数知，a2，则f(1)f(a1)，从而|f(x1)f(x2)|maxf(1)f(a)a22a1，由a22a14，解得1a3，又a2，所以2a3.10若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_. 【导学号：62172041】2x24f(x)bx2(ab2a)x2a2，且f(x)为偶函数，可知ab2a0，a0或b2.又f(x)的值域为(，4，所以b0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最